Выбор читателей
Популярные статьи
Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один из углов - прямой, то есть равен 90 градусам.
(см. рисунок выше)
a, b - катеты прямоугольного треугольника
c - гипотенуза
α, β - острые углы треугольника
S - площадь
h - высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу
m a a из противолежащего угла (α )
m b - медиана, проведенная к стороне b из противолежащего угла (β )
m c - медиана, проведенная к стороне c из противолежащего угла (γ )
В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы (Формулы 1 и 2). Данное свойство является следствием теоремы Пифагора .
Косинус любого из острых углов меньше единицы (Формулы 3 и 4). Данное свойство следует из предыдущего. Так как любой из катетов меньше гипотенузы, то из соотношение катета к гипотенузе всегда меньше единицы.
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора). (Формула 5). Это свойство постоянно используется при решении задач.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов (Формула 6)
Сумма квадратов медиан к катетам, равна пяти квадратам медианы к гипотенузе и пяти квадратам гипотенузы, деленных на четыре (Формула 7). Кроме указанной, есть еще 5 формул , поэтому рекомендуется ознакомиться также и с уроком "Медиана прямоугольного треугольника ", в котором более подробно изложены свойства медианы.
Высота прямоугольного треугольника равна произведению катетов, деленному на гипотенузу (Формула 8)
Квадраты катетов обратно пропорциональны квадрату высоты, опущенной на гипотенузу (Формула 9). Данное тождество также является одним из следствий теоремы Пифагора.
Длина гипотенузы равна диаметру (двум радиусам) описанной окружности (Формула 10). Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности . Это свойство часто используется при решении задач.
Радиус вписанной
в прямоугольный треугольник
окружности
можно найти как половину от выражения, включающего в себя сумму катетов этого треугольника минус длину гипотенузы. Или как произведение катетов, деленное на сумму всех сторон (периметр) данного треугольника. (Формула 11)
Синус угла отношению противолежащего
данному углу катета к гипотенузе
(по определению синуса). (Формула 12). Данное свойство используется при решении задач. Зная величины сторон, можно найти угол, который они образуют.
Косинус угла А (α, альфа) в прямоугольном треугольнике будет равен отношению прилежащего данному углу катета к гипотенузе (по определению синуса). (Формула 13)
Средний уровень
В задачах прямой угол вовсе не обязательно - левый нижний, так что тебе нужно научиться узнавать прямоугольный треугольник и в таком виде,
и в таком,
и в таком
Что же хорошего есть в прямоугольном треугольнике? Ну..., во-первых, есть специальные красивые названия для его сторон.
Внимание на рисунок!
Запомни и не путай: катетов - два, а гипотенуза - всего одна (единственная, неповторимая и самая длинная)!
Ну вот, названия обсудили, теперь самое важное: Теорема Пифагора.
Эта теорема - ключик к решению многих задачек с участием прямоугольного треугольника. Её доказал Пифагор в совершенно незапамятные времена, и с тех пор она принесла много пользы знающим её. А самое хорошее в ней то, что она - простая.
Итак, Теорема Пифагора:
Помнишь шутку: «Пифагоровы штаны на все стороны равны!»?
Давай нарисуем эти самые пифагоровы штаны и посмотрим на них.
Правда, похоже на какие - то шорты? Ну и на какие стороны и где она равны? Почему и откуда возникла шутка? А шутка эта связана как раз с теоремой Пифагора, точнее с тем, как сам Пифагор формулировал свою теорему. А формулировал он её так:
«Сумма площадей квадратов , построенных на катетах, равна площади квадрата , построенного на гипотенузе».
Правда, немножко по-другому звучит? И вот, когда Пифагор нарисовал утверждение своей теоремы, как раз и получилась такая картинка.
На этой картинке сумма площадей маленьких квадратов равна площади большого квадрата. А чтобы дети лучше запоминали, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, кто-то остроумный и выдумал эту шутку про Пифагоровы штаны.
Почему же мы сейчас формулируем теорему Пифагора
А Пифагор мучился и рассуждал про площади?
Понимаешь, в древние времена не было… алгебры! Не было никаких обозначений и так далее. Не было надписей. Представляешь, как бедным древним ученикам было ужасно запоминать всё словами??! А мы можем радоваться, что у нас есть простая формулировка теоремы Пифагора. Давай её ещё раз повторим, чтобы лучше запомнить:
Теперь уже должно быть легко:
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. |
Ну вот, самую главную теорему о прямоугольном треугольнике обсудили. Если тебе интересно, как она доказывается, читай следующие уровни теории, а сейчас пойдём дальше… в тёмный лес… тригонометрии! К ужасным словам синус, косинус, тангенс и котангенс.
На самом деле все совсем не так страшно. Конечно, «настоящее» определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно смотреть в статье . Но очень не хочется, правда? Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи:
А почему же всё только про угол? Где же угол? Для того, чтобы в этом разобраться, нужно знать, как утверждения 1 - 4 записываются словами. Смотри, понимай и запоминай!
1.
Вообще-то звучит это так:
А что же угол? Есть ли катет, который находится напротив угла, то есть противолежащий (для угла) катет? Конечно, есть! Это катет!
А как же угол? Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу? Конечно же, катет. Значит, для угла катет - прилежащий, и
А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:
Видишь, как здорово:
Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.
Как это теперь записать словами? Катет каким является по отношению к углу? Противолежащим, конечно - он «лежит» напротив угла. А катет? Прилегает к углу. Значит, что у нас получилось?
Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?
И теперь снова углы и совершили обмен:
Давай вкратце запишем всё, что мы узнали.
Теорема Пифагора: |
Главная теорема о прямоугольном треугольнике - теорема Пифагора.
Кстати, хорошо ли ты помнишь, что такое катеты и гипотенуза? Если не очень, то смотри на рисунок - освежай знания
Вполне возможно, что ты уже много раз использовал теорему Пифагора, а вот задумывался ли ты, почему же верна такая теорема. Как бы её доказать? А давай поступим, как древние греки. Нарисуем квадрат со стороной.
Видишь, как хитро мы поделили его стороны на отрезки длин и!
А теперь соединим отмеченные точки
Тут мы, правда ещё кое что отметили, но ты сам посмотри на рисунок и подумай, почему так.
Чему же равна площадь большего квадрата? Правильно, . А площадь меньшего? Конечно, . Осталась суммарная площадь четырех уголков. Представь, что мы взяли их по два и прислонили друг к другу гипотенузами. Что получилось? Два прямоугольника. Значит, площадь «обрезков» равна.
Давай теперь соберем всё вместе.
Преобразуем:
Вот и побывали мы Пифагором - доказали его теорему древним способом.
Для прямоугольного треугольника выполняются следующие соотношения:
Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе
Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету.
И ещё раз всё это в виде таблички:
Это очень удобно!
I. По двум катетам
II. По катету и гипотенузе
III. По гипотенузе и острому углу
IV. По катету и острому углу
a)
b)
Внимание! Здесь очень важно, чтобы катеты были «соответствующие». Например, если будет так:
То ТРЕУГОЛЬНИКИ НЕ РАВНЫ , несмотря на то, что имеют по одному одинаковому острому углу.
Нужно, чтобы в обоих треугольниках катет был прилежащим, или в обоих - противолежащим .
Ты заметил, чем отличаются признаки равенства прямоугольных треугольников от обычных признаков равенства треугольников? Загляни в тему « и обрати внимание на то, что для равенства «рядовых» треугольников нужно равенство трех их элементов: две стороны и угол между ними, два угла и сторона между ними или три стороны. А вот для равенства прямоугольных треугольников достаточно всего двух соответственных элементов. Здорово, правда?
Примерно такая же ситуация и с признаками подобия прямоугольных треугольников.
I. По острому углу
II. По двум катетам
III. По катету и гипотенузе
Почему это так?
Рассмотрим вместо прямоугольного треугольника целый прямоугольник.
Проведём диагональ и рассмотрим точку - точку пересечения диагоналей. Что известно про диагонали прямоугольника?
И что из этого следует?
Вот и получилось, что
Запомни этот факт! Очень помогает!
А что ещё более удивительно, так это то, что верно и обратное утверждение.
Что же хорошего можно получить из того, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы? А давай посмотрим на картинку
Посмотри внимательно. У нас есть: , то есть расстояния от точки до всех трёх вершин треугольника оказались равны. Но в треугольнике есть всего одна точка, расстояния от которой о всех трёх вершин треугольника равны, и это - ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ. Значит, что получилось?
Вот давай мы начнём с этого «кроме того...».
Посмотрим на и.
Но у подобных треугольников все углы равны!
То же самое можно сказать и про и
А теперь нарисуем это вместе:
Какую же пользу можно извлечь из этого «тройственного» подобия.
Ну, например - две формулы для высоты прямоугольного треугольника.
Запишем отношения соответствующих сторон:
Для нахождения высоты решаем пропорцию и получаем первую формулу "Высота в прямоугольном треугольнике" :
Итак, применим подобие: .
Что теперь получится?
Опять решаем пропорцию и получаем вторую формулу :
Обе эти формулы нужно очень хорошо помнить и применять ту, которую удобнее. Запишем их ещё раз
Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: .
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
Признаки подобия прямоугольных треугольников:
Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике
Высота прямоугольного треугольника: или.
В прямоугольном треугольнике медиана , проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: .
Площадь прямоугольного треугольника:
(АВС) и его свойства, который представлен на рисунке. Прямоугольный треугольник имеет гипотенузу — сторону, которая лежит напротив прямого угла.
Стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами. На рисунке стороны AD, DC и BD, DC — катеты, а стороны АС и СВ — гипотенузы.
Теорема 1. В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противоположный этому углу рванется половине гипотенузы.
hC
АВ — гипотенуза;
AD и DВ
Треугольник
Существует теорема:
система комментирования CACKL
E
Решение: 1) Диагонали любого прямоугольника равны.Верно 2) Если в треугольнике один острый угол, то этот треугольник остроугольный. Не верно. Виды треугольников. Треугольник называется остроугольным, если все три его угла - острые, то есть меньше 90° 3) Если точка лежит на.
Или, в другой записи,
По теореме Пифагора
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, может быть найдена тем или иным способом в зависимости от данных в условии задачи.
Или, в другой записи,
Где BK и KC проекции катетов на гипотенузу (отрезки, на которые высота делит гипотенузу).
Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти через площадь прямоугольного треугольника. Если применить формулу для нахождения площади треугольника
(половина произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне) к гипотенузе и высоте, проведенной к гипотенузе, получим:
Отсюда можем найти высоту как отношение удвоенной площади треугольника к длине гипотенузы:
Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
То есть длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе. Если обозначить длины катетов через a и b, длину гипотенузы через с, формулу можно переписать в виде
Так как радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, длину высоты можно выразить через катеты и радиус описанной окружности:
Поскольку проведенная к гипотенузе высота образует еще два прямоугольных треугольника, ее длину можно найти через соотношения в прямоугольном треугольнике.
Из прямоугольного треугольника ABK
Из прямоугольного треугольника ACK
Длину высоты прямоугольного треугольника можно выразить через длины катетов. Так как
По теореме Пифагора
Если возвести в квадрат обе части равенства:
Можно получить еще одну формулу для связи высоты прямоугольного треугольника с катетами:
Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?
Главная теорема о прямоугольном треугольнике - теорема Пифагора.
Кстати, хорошо ли ты помнишь, что такое катеты и гипотенуза? Если не очень, то смотри на рисунок - освежай знания
Вполне возможно, что ты уже много раз использовал теорему Пифагора, а вот задумывался ли ты, почему же верна такая теорема. Как бы её доказать? А давай поступим, как древние греки. Нарисуем квадрат со стороной.
Видишь, как хитро мы поделили его стороны на отрезки длин и!
А теперь соединим отмеченные точки
Тут мы, правда ещё кое что отметили, но ты сам посмотри на рисунок и подумай, почему так.
Чему же равна площадь большего квадрата? Правильно, . А площадь меньшего? Конечно, . Осталась суммарная площадь четырех уголков. Представь, что мы взяли их по два и прислонили друг к другу гипотенузами. Что получилось? Два прямоугольника. Значит, площадь «обрезков» равна.
Давай теперь соберем всё вместе.
Вот и побывали мы Пифагором - доказали его теорему древним способом.
Для прямоугольного треугольника выполняются следующие соотношения:
Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе
Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету.
И ещё раз всё это в виде таблички:
Заметил ли ты одну очень удобную вещь? Посмотри на табличку внимательно.
Это очень удобно!
II. По катету и гипотенузе
III. По гипотенузе и острому углу
IV. По катету и острому углу
Внимание! Здесь очень важно, чтобы катеты были «соответствующие». Например, если будет так:
То ТРЕУГОЛЬНИКИ НЕ РАВНЫ , несмотря на то, что имеют по одному одинаковому острому углу.
Нужно, чтобы В обоих треугольниках катет был прилежащим, или в обоих - противолежащим .
Ты заметил, чем отличаются признаки равенства прямоугольных треугольников от обычных признаков равенства треугольников? Загляни в тему «Треугольник» и обрати внимание на то, что для равенства «рядовых» треугольников нужно равенство трех их элементов: две стороны и угол между ними, два угла и сторона между ними или три стороны. А вот для равенства прямоугольных треугольников достаточно всего двух соответственных элементов. Здорово, правда?
Примерно такая же ситуация и с признаками подобия прямоугольных треугольников.
III. По катету и гипотенузе
Рассмотрим вместо прямоугольного треугольника целый прямоугольник.
Проведём диагональ и рассмотрим точку точку пересечения диагоналей. Что известно про диагонали прямоугольника?
И что из этого следует?
Вот и получилось, что
Запомни этот факт! Очень помогает!
А что ещё более удивительно, так это то, что верно и обратное утверждение.
Что же хорошего можно получить из того, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы? А давай посмотрим на картинку
Посмотри внимательно. У нас есть: , то есть расстояния от точки до всех трёх вершин треугольника оказались равны. Но в треугольнике есть всего одна точка, расстояния от которой о всех трёх вершин треугольника равны, и это - ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ. Значит, что получилось?
Вот давай мы начнём с этого «кроме того. ».
Но у подобных треугольников все углы равны!
То же самое можно сказать и про и
А теперь нарисуем это вместе:
У и одинаковые острые углы!
Какую же пользу можно извлечь из этого «тройственного» подобия.
Ну, например - Две формулы для высоты прямоугольного треугольника.
Запишем отношения соответствующих сторон:
Для нахождения высоты решаем пропорцию и получаем Первую формулу "Высота в прямоугольном треугольнике" :
Как же получить вторую?
А теперь применим подобие треугольников и.
Итак, применим подобие: .
Что теперь получится?
Опять решаем пропорцию и получаем вторую формулу "Высота в прямоугольном треугольнике" :
Обе эти формулы нужно очень хорошо помнить и применять ту, которую удобнее. Запишем их ещё раз
Ну вот, теперь, применяя и комбинируя эти знания с другими, ты решишь любую задачу с прямоугольным треугольником!
Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.
Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail
Рассмотрим прямоугольный треугольник (АВС) и его свойства, который представлен на рисунке. Прямоугольный треугольник имеет гипотенузу — сторону, которая лежит напротив прямого угла. Стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами. На рисунке стороны AD, DC и BD, DC — катеты, а стороны АС и СВ — гипотенузы.
Признаки равенства прямоугольного треугольника:
Теорема 1. Если гипотенуза и катет прямоугольного треугольника сходны с гипотенузой и катетом другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема 2. Если два катета прямоугольного треугольника равняются двум катетам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема 3. Если гипотенуза и острый угол прямоугольного треугольника сходны гипотенузой и острым углом другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема 4. Если катет и прилегающий (противоположный) острый угол прямоугольного треугольника равны катету и прилегающему (противоположному) острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Свойства катета, противолежащего углу в 30°:
Теорема 1.
В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противоположный этому углу рванется половине гипотенузы.
Теорема 2. Если в прямоугольном треугольнике катет равняется половине гипотенузы, то противоположный ему угол составляет 30°.
Если высота проведена с вершины прямого угла к гипотенузе, то такой треугольник делится на два меньших, подобных до исходящего и аналогичные один к другому. Из этого следуют такие выводы:
В прямоугольном треугольнике в роли высот выступают катеты. Ортоцентр - это такая точка, на которой происходит пересечение высот треугольника. Она совпадает с вершиной прямого угла фигуры.
hC — высота выходящая из прямого угла треугольника;
АВ — гипотенуза;
AD и DВ — отрезки, возникшие при делении гипотенузы высотой.
Вернуться к просмотру справок по дисциплине "Геометрия"
Треугольник
— это геометрическая фигура, состоящая из трех точек (вершин), которые не находятся на одной и той же прямой линии и трех отрезков соединяющих эти точки. Прямоугольным треугольником называется треугольник, имеющий один из углов в 90° (прямой угол).
Существует теорема:
сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
система комментирования CACKL
E
Ключевые слова: треугольник, прямоугольный, катет, гипотенуза, теорема Пифагора, окружность
Треугольник называют прямоугольным
, если у него есть прямой угол.
Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами
; третья его сторона называется гипотенузой.
Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник АВС и проведем высоту СD = hc из вершины С его прямого угла.
Она разобьет данный треугольник на два прямоугольных треугольника АСD и ВСD; каждый из этих треугольников имеет с треугольником АВС общий острый угол и потому подобен треугольнику АВС.
Все три треугольника АВС, АСD и ВСD подобны между собой.
Из подобия треугольников определяются соотношения:
Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
Геометрическая формулировка. В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Алгебраическая формулировка.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:
a2 + b2 = c2
Обратная теорема Пифагора.
Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что
a2 + b2 = c2,
существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
См. также:
Площадь треугольника, Равнобедренный треугольник, Равносторонний треугольник
Геометрия. 8 класс. Тест 4. Вариант 1 .
AD : CD = CD : BD. Отсюда CD2 = AD ∙ BD. Говорят:
AD : AC = AC : AB. Отсюда AC2 = AB ∙ AD. Говорят:
BD : BC = BC : AB. Отсюда BC2 = AB ∙ BD.
Решите задачи:
1.
A) 70 см; B) 55 см; C) 65 см; D) 45 см; E) 53 см.
2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит гипотенузу на отрезки 9 и 36.
Определить длину этой высоты.
A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.
4.
A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.
5.
A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.
6.
A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.
7.
8. Катет прямоугольного треугольника равен 30.
Найти расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы, если радиус описанной около этого треугольника окружности равен 17.
A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.
10.
A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.
A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.
12.
A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.
Сверить ответы!
Геометрия. 8 класс. Тест 4. Вариант 1 .
В Δ АВС ∠АСВ = 90°. АС и ВС катеты, АВ гипотенуза.
CD высота треугольника, проведенная к гипотенузе.
AD проекция катета АС на гипотенузу,
BD проекция катета ВС на гипотенузу.
Высота CD делит треугольник АВС на два подобных ему (и друг другу) треугольника: Δ ADC и Δ CDB.
Из пропорциональности сторон подобных Δ ADC и Δ CDB следует:
AD : CD = CD : BD.
Отсюда CD2 = AD ∙ BD. Говорят: высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу.
Из подобия Δ ADC и Δ АCB следует:
AD : AC = AC : AB. Отсюда AC2 = AB ∙ AD. Говорят: каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией данного катета на гипотенузу.
Аналогично, из подобия Δ СDВ и Δ АCB следует:
BD : BC = BC : AB. Отсюда BC2 = AB ∙ BD.
Решите задачи:
1. Найти высоту прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, если она делит гипотенузу на отрезки 25 см и 81 см.
A) 70 см; B) 55 см; C) 65 см; D) 45 см; E) 53 см.
2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит гипотенузу на отрезки 9 и 36. Определить длину этой высоты.
A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.
4. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 22, проекция одного из катетов равна 16. Найти проекцию другого катета.
A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.
5. Катет прямоугольного треугольника равен 18, а его проекция на гипотенузу 12. Найти гипотенузу.
A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.
6. Гипотенуза равна 32. Найти катет, проекция которого на гипотенузу равна 2.
A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.
7. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 45. Найти катет, проекция которого на гипотенузу равна 9.
8. Катет прямоугольного треугольника равен 30. Найти расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы, если радиус описанной около этого треугольника окружности равен 17.
A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.
10. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41, а проекция одного из катетов 16. Найти длину высоты, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.
A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.
A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.
12. Разность проекций катетов на гипотенузу равна 15, а расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы равно 4. Найти радиус описанной окружности.
A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.
Статьи по теме: | |
Школьная энциклопедия К какой расе относятся сирийцы
90 % населения Сирии составляют мусульмане, 10% христиане. Мусульмане... Лимонный кекс на кефире с маком
Лимонный кекс на кефире без яиц (с пропиткой) — мой любимый рецепт к... Салат из сайры - простые и оригинальные рецепты аппетитной закуски Салат из сайры консервированной с рисом
Я очень люблю салаты с консервированной рыбой. Их можно готовить... |