Основы вероятностно-статистических методов описания неопределенностей. Вероятностные и статистические методы Среднее квадратичное отклонение

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

1. Распределение "хи-квадрат"

Заключение

Приложение

Введение

Как подходы, идеи и результаты теории вероятностей используются в нашей жизни? математический квадрат теория

Базой является вероятностная модель реального явления или процесса, т.е. математическая модель, в которой объективные соотношения выражены в терминах теории вероятностей. Вероятности используются, прежде всего, для описания неопределенностей, которые необходимо учитывать при принятии решений. Имеются в виду, как нежелательные возможности (риски), так и привлекательные ("счастливый случай"). Иногда случайность вносится в ситуацию сознательно, например, при жеребьевке, случайном отборе единиц для контроля, проведении лотерей или опросов потребителей.

Теория вероятностей позволяет по одним вероятностям рассчитать другие, интересующие исследователя.

Вероятностная модель явления или процесса является фундаментом математической статистики. Используются два параллельных ряда понятий - относящиеся к теории (вероятностной модели) и относящиеся к практике (выборке результатов наблюдений). Например, теоретической вероятности соответствует частота, найденная по выборке. Математическому ожиданию (теоретический ряд) соответствует выборочное среднее арифметическое (практический ряд). Как правило, выборочные характеристики являются оценками теоретических. При этом величины, относящиеся к теоретическому ряду, "находятся в головах исследователей", относятся к миру идей (по древнегреческому философу Платону), недоступны для непосредственного измерения. Исследователи располагают лишь выборочными данными, с помощью которых они стараются установить интересующие их свойства теоретической вероятностной модели.

Зачем же нужна вероятностная модель? Дело в том, что только с ее помощью можно перенести свойства, установленные по результатам анализа конкретной выборки, на другие выборки, а также на всю так называемую генеральную совокупность. Термин "генеральная совокупность" используется, когда речь идет о большой, но конечной совокупности изучаемых единиц. Например, о совокупности всех жителей России или совокупности всех потребителей растворимого кофе в Москве. Цель маркетинговых или социологических опросов состоит в том, чтобы утверждения, полученные по выборке из сотен или тысяч человек, перенести на генеральные совокупности в несколько миллионов человек. При контроле качества в роли генеральной совокупности выступает партия продукции.

Чтобы перенести выводы с выборки на более обширную совокупность, необходимы те или иные предположения о связи выборочных характеристик с характеристиками этой более обширной совокупности. Эти предположения основаны на соответствующей вероятностной модели.

Конечно, можно обрабатывать выборочные данные, не используя ту или иную вероятностную модель. Например, можно рассчитывать выборочное среднее арифметическое, подсчитывать частоту выполнения тех или иных условий и т.п. Однако результаты расчетов будут относиться только к конкретной выборке, перенос полученных с их помощью выводов на какую-либо иную совокупность некорректен. Иногда подобную деятельность называют "анализ данных". По сравнению с вероятностно-статистическими методами анализ данных имеет ограниченную познавательную ценность.

Итак, использование вероятностных моделей на основе оценивания и проверки гипотез с помощью выборочных характеристик - вот суть вероятностно-статистических методов принятия решений.

1. Распределение "хи-квадрат"

С помощью нормального распределения определяются три распределения, которые в настоящее время часто используются при статистической обработке данных. Это распределения Пирсона ("хи - квадрат"), Стьюдента и Фишера.

Мы остановимся на распределении ("хи - квадрат"). Впервые это распределение было исследовано астрономом Ф.Хельмертом в 1876 году. В связи с гауссовской теорией ошибок он исследовал суммы квадратов n независимых стандартно нормально распределенных случайных величин. Позднее Карл Пирсон (Karl Pearson) дал имя данной функции распределения "хи - квадрат". И сейчас распределение носит его имя.

Благодаря тесной связи с нормальным распределением, ч2-распределение играет важную роль в теории вероятностей и математической статистике. ч2-распределение, и многие другие распределения, которые определяются посредством ч2-распределения (например - распределение Стьюдента), описывают выборочные распределения различных функций от нормально распределенных результатов наблюдений и используются для построения доверительных интервалов и статистических критериев.

Распределение Пирсона (хи - квадрат) - распределение случайной величиныгде X1, X2,…, Xn - нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение - единице.

Сумма квадратов

распределена по закону ("хи - квадрат").

При этом число слагаемых, т.е. n, называется "числом степеней свободы" распределения хи - квадрат. C увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Плотность этого распределения

Итак, распределение ч2 зависит от одного параметра n - числа степеней свободы.

Функция распределения ч2 имеет вид:

если ч2?0. (2.7.)

На Рисунке 1 изображен график плотности вероятности и функции ч2 - распределения для разных степеней свободы.

Рисунок 1 Зависимость плотности вероятности ц (x) в распределении ч2 (хи - квадрат) при разном числе степеней свободы

Моменты распределения "хи-квадрат":

Распределение "хи-квадрат" используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде всего для качественных (категоризованных) переменных, принимающих конечное число значений, и во многих других задачах статистического анализа данных.

2. "Хи-квадрат" в задачах статистического анализа данных

Статистические методы анализа данных применяются практически во всех областях деятельности человека. Их используют всегда, когда необходимо получить и обосновать какие-либо суждения о группе (объектов или субъектов) с некоторой внутренней неоднородностью.

Современный этап развития статистических методов можно отсчитывать с 1900 г., когда англичанин К. Пирсон основал журнал "Biometrika". Первая треть ХХ в. прошла под знаком параметрической статистики. Изучались методы, основанные на анализе данных из параметрических семейств распределений, описываемых кривыми семейства Пирсона. Наиболее популярным было нормальное распределение. Для проверки гипотез использовались критерии Пирсона, Стьюдента, Фишера. Были предложены метод максимального правдоподобия, дисперсионный анализ, сформулированы основные идеи планирования эксперимента.

Распределение "хи-квадрат" является одним из наиболее широко используемых в статистике для проверки статистических гипотез. На основе распределения "хи-квадрат" построен один из наиболее мощных критериев согласия - критерий "хи-квадрата" Пирсона.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Критерий ч2 ("хи-квадрат") используется для проверки гипотезы различных распределений. В этом заключается его достоинство.

Расчетная формула критерия равна

где m и m" - соответственно эмпирические и теоретические частоты

рассматриваемого распределения;

n - число степеней свободы.

Для проверки нам необходимо сравнивать эмпирические (наблюдаемые) и теоретические (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты.

При полном совпадении эмпирических частот с частотами, вычисленными или ожидаемыми S (Э - Т) = 0 и критерий ч2 тоже будет равен нулю. Если же S (Э - Т) не равно нулю это укажет на несоответствие вычисленных частот эмпирическим частотам ряда. В таких случаях необходимо оценить значимость критерия ч2, который теоретически может изменяться от нуля до бесконечности. Это производится путем сравнения фактически полученной величины ч2ф с его критическим значением (ч2st).Нулевая гипотеза, т. е. предположение, что расхождение между эмпирическими и теоретическими или ожидаемыми частотами носит случайный характер, опровергается, если ч2ф больше или равно ч2st для принятого уровня значимости (a) и числа степеней свободы (n).

Распределение вероятных значений случайной величины ч2 непрерывно и ассиметрично. Оно зависит от числа степеней свободы (n) и приближается к нормальному распределению по мере увеличения числа наблюдений. Поэтому применение критерия ч2 к оценке дискретных распределений сопряжено с некоторыми погрешностями, которые сказываются на его величине, особенно на малочисленных выборках. Для получения более точных оценок выборка, распределяемая в вариационный ряд, должна иметь не менее 50 вариантов. Правильное применение критерия ч2 требует также, чтобы частоты вариантов в крайних классах не были бы меньше 5; если их меньше 5, то они объединяются с частотами соседних классов, чтобы в сумме составляли величину большую или равную 5. Соответственно объединению частот уменьшается и число классов (N). Число степеней свободы устанавливается по вторичному числу классов с учетом числа ограничений свободы вариации.

Так как точность определения критерия ч2 в значительной степени зависит от точности расчета теоретических частот (Т), для получения разности между эмпирическими и вычисленными частотами следует использовать неокругленные теоретические частоты.

В качестве примера возьмем исследование, опубликованное на сайте, который посвящен применению статистических методов в гуманитарных науках.

Критерий "Хи-квадрат" позволяет сравнивать распределения частот вне зависимости от того, распределены они нормально или нет.

Под частотой понимается количество появлений какого-либо события. Обычно, с частотой появления события имеют дело, когда переменные измерены в шкале наименований и другой их характеристики, кроме частоты подобрать невозможно или проблематично. Другими словами, когда переменная имеет качественные характеристики. Так же многие исследователи склонны переводить баллы теста в уровни (высокий, средний, низкий) и строить таблицы распределений баллов, чтобы узнать количество человек по этим уровням. Чтобы доказать, что в одном из уровней (в одной из категорий) количество человек действительно больше (меньше) так же используется коэффициент Хи-квадрат.

Разберем самый простой пример.

Среди младших подростков был проведён тест для выявления самооценки. Баллы теста были переведены в три уровня: высокий, средний, низкий. Частоты распределились следующим образом:

Высокий (В) 27 чел.

Средний (С) 12 чел.

Низкий (Н) 11 чел.

Очевидно, что детей с высокой самооценкой большинство, однако это нужно доказать статистически. Для этого используем критерий Хи-квадрат.

Наша задача проверить, отличаются ли полученные эмпирические данные от теоретически равновероятных. Для этого необходимо найти теоретические частоты. В нашем случае, теоретические частоты - это равновероятные частоты, которые находятся путём сложения всех частот и деления на количество категорий.

В нашем случае:

(В + С + Н)/3 = (27+12+11)/3 = 16,6

Формула для расчета критерия хи-квадрат:

ч2 = ?(Э - Т)І / Т

Строим таблицу:

Эмпирич. (Э)	Теоретич. (Т)	(Э - Т)І / Т

Находим сумму последнего столбца:

Теперь нужно найти критическое значение критерия по таблице критических значений (Таблица 1 в приложении). Для этого нам понадобится число степеней свободы (n).

n = (R - 1) * (C - 1)

где R - количество строк в таблице, C - количество столбцов.

В нашем случае только один столбец (имеются в виду исходные эмпирические частоты) и три строки (категории), поэтому формула изменяется - исключаем столбцы.

n = (R - 1) = 3-1 = 2

Для вероятности ошибки p?0,05 и n = 2 критическое значение ч2 = 5,99.

Полученное эмпирическое значение больше критического - различия частот достоверны (ч2= 9,64; p?0,05).

Как видим, расчет критерия очень прост и не занимает много времени. Практическая ценность критерия хи-квадрат огромна. Этот метод оказывается наиболее ценным при анализе ответов на вопросы анкет.

Разберем более сложный пример.

К примеру, психолог хочет узнать, действительно ли то, что учителя более предвзято относятся к мальчикам, чем к девочкам. Т.е. более склонны хвалить девочек. Для этого психологом были проанализированы характеристики учеников, написанные учителями, на предмет частоты встречаемости трех слов: "активный", "старательный", "дисциплинированный", синонимы слов так же подсчитывались.

Данные о частоте встречаемости слов были занесены в таблицу:

Для обработки полученных данных используем критерий хи-квадрат.

Для этого построим таблицу распределения эмпирических частот, т.е. тех частот, которые мы наблюдаем:

Теоретически, мы ожидаем, что частоты распределятся равновероятно, т.е. частота распределится пропорционально между мальчиками и девочками. Построим таблицу теоретических частот. Для этого умножим сумму по строке на сумму по столбцу и разделим получившееся число на общую сумму (s).

Итоговая таблица для вычислений будет выглядеть так:

		Эмпирич. (Э)	Теоретич. (Т)	(Э - Т)І / Т
Мальчики	"Активный"
"Старательный"
"Дисциплинированный"
	"Активный"
"Старательный"
"Дисциплинированный"
Сумма: 4,21

ч2 = ?(Э - Т)І / Т

где R - количество строк в таблице.

В нашем случае хи-квадрат = 4,21; n = 2.

По таблице критических значений критерия находим: при n = 2 и уровне ошибки 0,05 критическое значение ч2 = 5,99.

Полученное значение меньше критического, а значит принимается нулевая гипотеза.

Вывод: учителя не придают значение полу ребенка при написании ему характеристики.

Заключение

Студенты почти всех специальностей изучают в конце курса высшей математики раздел "теория вероятностей и математическая статистика", реально они знакомятся лишь с некоторыми основными понятиями и результатами, которых явно не достаточно для практической работы. С некоторыми математическими методами исследования студенты встречаются в специальных курсах (например, таких, как "Прогнозирование и технико-экономическое планирование", "Технико-экономический анализ", "Контроль качества продукции", "Маркетинг", "Контроллинг", "Математические методы прогнозирования", "Статистика" и др. - в случае студентов экономических специальностей), однако изложение в большинстве случаев носит весьма сокращенный и рецептурный характер. В результате знаний у специалистов по прикладной статистике недостаточно.

Поэтому большое значение имеет курс "Прикладная статистика" в технических вузах, а в экономических вузах - курса "Эконометрика", поскольку эконометрика - это, как известно, статистический анализ конкретных экономических данных.

Теория вероятности и математическая статистика дают фундаментальные знания для прикладной статистики и эконометрики.

Они необходимы специалистам для практической работы.

Я рассмотрела непрерывную вероятностную модель и постаралась на примерах показать ее используемость.

И в конце своей работы я пришла к выводу, что грамотная реализация основных процедур математико-статического анализа данных, статическая проверка гипотез невозможна без знания модели "хи-квадрат", а также умения пользоваться ее таблицей.

Список используемой литературы

1. Орлов А.И. Прикладная статистика. М.: Издательство "Экзамен", 2004.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1999. - 479с.

3. Айвозян С.А. Теория вероятностей и прикладная статистика, т.1. М.: Юнити, 2001. - 656с.

4. Хамитов Г.П., Ведерникова Т.И. Вероятности и статистика. Иркутск: БГУЭП, 2006 - 272с.

5. Ежова Л.Н. Эконометрика. Иркутск: БГУЭП, 2002. - 314с.

6. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. М.: Наука, 1975. - 111с.

7. Мостеллер Ф. Вероятность. М.: Мир, 1969. - 428с.

8. Яглом А.М. Вероятность и информация. М.: Наука, 1973. - 511с.

9. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982. - 256с.

10. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2000. - 543с.

11. Математическая энциклопедия, т.1. М.: Советская энциклопедия, 1976. - 655с.

12. http://psystat.at.ua/ - Статистика в психологии и педагогике. Статья Критерий Хи-квадрат.

Приложение

Критические точки распределения ч2

Таблица 1

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Вероятностная модель и аксиоматика А.Н. Колмогорова. Случайные величины и векторы, классическая предельная проблема теории вероятностей. Первичная обработка статистических данных. Точечные оценки числовых характеристик. Статистическая проверка гипотез.

методичка , добавлен 02.03.2010


Правила выполнения и оформления контрольных работ для заочного отделения. Задания и примеры решения задач по математической статистике и теории вероятности. Таблицы справочных данных распределений, плотность стандартного нормального распределения.

методичка , добавлен 29.11.2009


Основные методы формализованного описания и анализа случайных явлений, обработки и анализа результатов физических и численных экспериментов теории вероятности. Основные понятия и аксиомы теории вероятности. Базовые понятия математической статистики.

курс лекций , добавлен 08.04.2011


Определение закона распределения вероятностей результатов измерения в математической статистике. Проверка соответствия эмпирического распределения теоретическому. Определение доверительного интервала, в котором лежит значение измеряемой величины.

курсовая работа , добавлен 11.02.2012


Сходимость последовательностей случайных величин и вероятностных распределений. Метод характеристических функций. Проверка статистических гипотез и выполнение центральной предельной теоремы для заданных последовательностей независимых случайных величин.

курсовая работа , добавлен 13.11.2012


Основные этапы обработки данных натуральных наблюдений методом математической статистики. Оценка полученных результатов, их использование при принятии управленческих решений в области охраны природы и природопользования. Проверка статистических гипотез.

практическая работа , добавлен 24.05.2013


Сущность закона распределения и его практическое применение для решения статистических задач. Определение дисперсии случайной величины, математического ожидания и среднеквадратического отклонения. Особенности однофакторного дисперсионного анализа.

контрольная работа , добавлен 07.12.2013


Вероятность и ее общее определение. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики. Закон больших чисел. Статистическое распределение выборки. Элементы корреляционного и регрессионного анализа.

курс лекций , добавлен 13.06.2015


Программа курса, основные понятия и формулы теории вероятностей, их обоснование и значение. Место и роль математической статистики в дисциплине. Примеры и разъяснения по решению самых распространенных задач по различным темам данных учебных дисциплин.

методичка , добавлен 15.01.2010


Теория вероятностей и математическая статистика являются науками о методах количественного анализа массовых случайных явлений. Множество значений случайной величины называется выборкой, а элементы множества – выборочными значениями случайной величины.

Во многих случаях в горной науке необходимо исследовать не только детерминированные, но и случайные процессы. Все геомеханические процессы протекают в непрерывно изменяющихся условиях, когда те или иные события могут произойти, а могут и не произойти. При этом возникает необходимость анализировать случайные связи.

Несмотря на случайный характер событий, они подчиняются определенным закономерностям, рассматриваемым в теории вероятностей , которая изучает теоретические распределения случайных величин и их характеристики. Способами обработки и анализа случайных эмпирических событий занимается другая наука, так называемая математическая статистика. Эти две родственные науки составляют единую математическую теорию массовых случайных процессов, широко применяемую в научных исследованиях.

Элементы теории вероятностей и матстатистики. Под совокупностью понимают множество однородных событий случайной величины х , которая составляет первичный статистический материал. Совокупность может быть генеральной (большая выборка N ), содержащей самые различные варианты массового явления, и выборочной (малая выборка N 1), представляющей собой лишь часть генеральной совокупности.

Вероятностью Р (х ) события х называют отношение числа случаев N (х ), которые приводят к наступлению события х , к общему числу возможных случаев N :

В математической статистике аналогом вероятности является понятие частости события , представляющей собой отношение числа случаев , при которых имело место событие, к общему числу событий:

При неограниченном возрастании числа событий частость стремится к вероятности Р (х ).

Допустим, имеются какие-то статистические данные, представленные в виде ряда распределения (гистограммы) на рис. 4.11, тогда частость характеризует вероятность появления случайной величины в интервале і , а плавная кривая носит название функции распределения.

Вероятность случайной величины – это количественная оценка возможности ее появления. Достоверное событие имеет Р =1, невозможное событие – Р =0. Следовательно, для случайного события , а сумма вероятностей всех возможных значений .

В исследованиях недостаточно иметь кривую распределения , а необходимо знать и ее характеристики:

а) среднеарифметическое – ; (4.53)

б) размах – R = x max – x min , который можно использовать для ориентировочной оценки вариации событий, где x max и x min – экстремальные значения измеренной величины;

в) математическое ожидание – . (4.54)

Для непрерывных случайных величин математическое ожидание записывается в виде

, (4.55)

т.е. равно действительному значению наблюдаемых событий х , а соответствующая матожиданию абсцисса называется центром распределения.

г) дисперсия – , (4.56)

которая характеризует рассеяние случайной величины по отношению к математическому ожиданию. Дисперсию случайной величины иначе еще называют центральным моментом второго порядка.

Для непрерывной случайной величины дисперсия равна

; (4.57)

д) среднеквадратичное отклонение или стандарт –

е) коэффициент вариации (относительное рассеяние) –

, (4.59)

который характеризует интенсивность рассеяния в различных совокупностях и применяется для их сравнения.

Площадь, расположенная под кривой распределения , соответствует единице, это означает, что кривая охватывает все значения случайных величин. Однако таких кривых, которые будут иметь площадь, равную единице, можно построить большое количество, т.е. они могут иметь различное рассеяние. Мерой рассеяния и является дисперсия или среднеквадратичное отклонение (рис. 4.12).

Выше мы рассмотрели основные характеристики теоретической кривой распределения, которые анализирует теория вероятностей. В статистике оперируют эмпирическими распределениями, а основной задачей статистики является подбор теоретических кривых по имеющемуся эмпирическому закону распределения.

Пусть в результате n измерений случайной величины получен вариационный ряд х 1 , х 2 , х 3 , … х n . Обработка таких рядов сводится к следующим операциям:

– группируют х і в интервале и устанавливают для каждого из них абсолютную и относительные частости ;

– по значениям строят ступенчатую гистограмму (рис. 4.11);

– вычисляют характеристики эмпирической кривой распределения: среднеарифметическое дисперсию Д = ; среднеквадратичное отклонение .

Значениям , Д и s эмпирического распределения соответствуют величины , Д (х ) и s (х ) теоретического распределения.

Рассмотрим основные теоретические кривые распределения. Наиболее часто в исследованиях применяют закон нормального распределения (рис. 4.13), уравнение которого при имеет вид:

(4.60)

Если совместить ось координат с точкой m , т.е. принять m (x )=0 и принять , закон нормального распределения будет описываться более простым уравнением:

Для оценки рассеяния обычно пользуются величиной . Чем меньше s ,тем меньше рассеяние, т.е. наблюдения мало отличается друг от друга. С увеличением s рассеяние возрастает, вероятность погрешностей увеличивается, а максимум кривой (ордината), равный , уменьшается. Поэтому значение у =1/ при 1 называют мерой точности. Среднеквадратичные отклонения и соответствуют точкам перегиба (заштрихованная область на рис. 4.12) кривой распределения.

При анализе многих случайных дискретных процессов используют распределение Пуассона (краткосрочные события, протекающие в единицу времени). Вероятность появления чисел редких событий х =1, 2, … за данный отрезок времени выражается законом Пуассона (см. рис. 4.14):

, (4.62)

где х – число событий за данный отрезок времени t ;

λ – плотность, т.е. среднее число событий за единицу времени;

– среднее число событий за время t ;

Для закона Пуассона дисперсия равна математическому ожиданию числа наступления событий за время t , т.е. .

Для исследования количественных характеристик некоторых процессов (времени отказов машин и т.д.) применяют показательный закон распределения (рис. 4.15), плотность распределения которого выражается зависимостью

где λ – интенсивность (среднее число) событий в единицу времени.

В показательном распределении интенсивность λ является величиной, обратной математическому ожиданию λ = 1/m (x ). Кроме того, справедливо соотношение .

В различных областях исследований широко применяется закон распределения Вейбулла (рис. 4.16):

, (4.64)

где n , μ , – параметры закона; х – аргумент, чаще всего время.

Исследуя процессы, связанные с постепенным снижением параметров (снижением прочности пород во времени и т.д.), применяют закон гамма-распределения (рис. 4.17):

, (4.65)

где λ , a – параметры. Если a =1, гамма функции превращается в показательный закон.

Кроме приведенных выше законов применяют и другие виды распределений: Пирсона, Рэлея, бета – распределение и пр.

Дисперсионный анализ. В исследованиях часто возникает вопрос: В какой мере влияет тот или иной случайный фактор на исследуемый процесс? Методы установления основных факторов и их влияние на исследуемый процесс рассматриваются в специальном разделе теории вероятностей и математической статистики – дисперсионном анализе. Различают одно – и многофакторный анализ. Дисперсионный анализ основывается на использовании нормального закона распределения и на гипотезе, что центры нормальных распределений случайных величин равны. Следовательно, все измерения можно рассматривать как выборку из одной и той же нормальной совокупности.

Теория надежности. Методы теории вероятностей и математической статистики часто применяют в теории надежности, которая широко используется в различных отраслях науки и техники. Под надежностью понимают свойство объекта выполнять заданные функции (сохранять установленные эксплуатационные показатели) в течение требуемого периода времени. В теории надежности отказы рассматриваются как случайные события. Для количественного описания отказов применяют математические модели – функции распределения интервалов времени (нормальное и экспоненциальное распределение, Вейбулла, гамма-распределения). Задача состоит в нахождении вероятностей различных показателей.

Метод Монте-Карло. Для исследования сложных процессов вероятностного характера применяют метод Монте-Карло.С помощью этого метода решают задачи по нахождению наилучшего решения из множества рассматриваемых вариантов.

Метод Монте-Карло иначе еще называют методом статистического моделирования. Это численный метод, он основан на использовании случайных чисел, моделирующих вероятностные процессы. Математической основой метода является закон больших чисел, который формулируется следующим образом: при большом числе статистических испытаний вероятность того, что среднеарифметическое значение случайной величины стремится к ее математическому ожиданию , равна 1:

, (4.64)

где ε – любое малое положительное число.

Последовательность решения задач методом Монте-Карло:

– сбор, обработка и анализ статистических наблюдений;

– отбор главных и отбрасывание второстепенных факторов и составление математической модели;

– составление алгоритмов и решение задач на ЭВМ.

Для решения задач методом Монте-Карло необходимо иметь статистический ряд, знать закон его распределения, среднее значение , математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение. Решение эффективно лишь с использованием ЭВМ.

При проведении психолого-педагогических исследований важная роль отводится математическим методам моделирования процессов и обработки экспериментальных данных. К таким методам следует отнести, прежде всего, так называемые, вероятностно-статистические методы исследования. Это связано с тем, что на поведение как отдельного человека в процессе его деятельности, так и человека в коллективе существенное влияние оказывает множество случайных факторов. Случайность не позволяет описывать явления в рамках детерминированных моделей, т. к. проявляется, как недостаточная регулярность в массовых явлениях и, следовательно, не дает возможность с достоверностью предсказывать наступление определенных событий. Однако при изучении таких явлений обнаруживаются определенные закономерности. Нерегулярность, свойственная случайным событиям, при большом количестве испытаний, как правило, компенсируется появлением статистической закономерности, стабилизацией частот наступлений случайных событий. Следовательно, данные случайные события имеют определенную вероятность. Существуют два принципиально различающихся вероятностно-статистических метода психолого-педагогических исследований: классический и неклассический. Проведем сравнительный анализ этих методов.

Классический вероятностно-статистический метод. В основе классического вероятностно-статистического метода исследования лежат теория вероятностей и математическая статистика. Данный метод применяется при изучении массовых явлений случайного характера, он включает несколько этапов, основные из которых следующие.

1. Построение вероятностной модели реальности, исходя из анализа статистических данных (определение закона распределения случайной величины). Естественно, что закономерности массовых случайных явлений выражаются тем более отчетливо, чем больше объем статистического материала. Выборочные данные, полученные при проведении эксперимента, всегда ограничены и носят, строго говоря, случайный характер. В связи с этим важная роль отводится обобщению закономерностей, полученных на выборке, и распространению их на всю генеральную совокупность объектов. С целью решения этой задачи принимается определенная гипотеза о характере статистической закономерности, которая проявляется в исследуемом явлении, например, гипотеза о том, что исследуемое явление подчиняется закону нормального распределения. Такая гипотеза носит название нулевой гипотезы, которая может оказаться ошибочной, поэтому наряду с нулевой гипотезой еще выдвигается и альтернативная или конкурирующая гипотеза. Проверка того насколько полученные экспериментальные данные соответствуют той или иной статистической гипотезе осуществляется с помощью так называемых непараметрических статистических критериев или критериев согласия. В настоящее время широко используются критерии согласия Колмогорова, Смирнова, омега-квадрат и др. . Основная идея этих критериев состоит в измерении расстояния между функцией эмпирического распределения и функцией полностью известного теоретического распределения. Методология проверки статистической гипотезы строго разработана и изложена в большом количестве работ по математической статистике.

2. Проведение необходимых расчетов математическими средствами в рамках вероятностной модели. В соответствии с установленной вероятностной моделью явления проводятся вычисления характеристических параметров, например, таких как математическое ожидание или среднее значение, дисперсия, стандартное отклонение, мода, медиана, показатель асимметрии и др.

3. Интерпретация вероятностно-статистических выводов применительно к реальной ситуации.

В настоящее время классический вероятностно-статистический метод хорошо разработан и широко используется при проведении исследований в различных областях естественных, технических и общественных наук. Подробное описание сути данного метода и его применения к решению конкретных задач можно найти в большом количестве литературных источников, например в .

Неклассический вероятностно-статистический метод. Неклассический вероятно-статистический метод исследований отличается от классического тем, что он применяется не только к массовым, но и к отдельным событиям, имеющим принципиально случайный характер. Данный метод может быть эффективно использован при анализе поведения индивида в процессе выполнения той или иной деятельности, например, в процессе усвоения знаний учащимся . Особенности неклассического вероятностно-статистического метода психолого-педагогических исследований рассмотрим на примере поведения учащихся в процессе усвоения знаний.

Впервые вероятностно-статистическая модель поведения учащихся в процессе усвоения знаний была предложена в работе . Дальнейшее развитие этой модели было сделано в работе . Учение как вид деятельности, цель которого приобретение человеком знаний, умений и навыков, зависит от уровня развития сознания учащегося. В структуру сознания входят такие познавательные процессы, как ощущение, восприятие, память, мышление, воображение. Анализ этих процессов показывает, что им присущи элементы случайности, обусловленные случайным характером психического и соматического состояний индивида, а также физиологическим, психологическим и информационным шумами при работе головного мозга. Последнее привело при описании процессов мышления к отказу от использования модели детерминистской динамической системы в пользу модели случайной динамической системы . Это означает, что детерминизм сознания реализуется через случайность. Отсюда можно заключить, что знания человека, являющиеся фактически продуктом сознания, также имеют случайный характер, и, следовательно, для описания поведения каждого отдельного учащегося в процессе усвоения знаний может быть использован вероятностно-статистический метод.

В соответствии с этим методом учащийся идентифицируется функцией распределения (плотностью вероятности), определяющей вероятность нахождения его в единичной области информационного пространства. В процессе обучения функция распределения, с которой идентифицируется учащийся, эволюционируя, движется в информационном пространстве. Каждый учащийся обладает индивидуальными свойствами и допускается независимая локализация (пространственная и кинематическая) индивидов друг относительно друга.

На основе закона сохранения вероятности записывается система дифференциальных уравнений, представляющих собой уравнения непрерывности, которые связывают изменение плотности вероятности за единицу времени в фазовом пространстве (пространстве координат, скоростей и ускорений различных порядков) с дивергенцией потока плотности вероятности в рассматриваемом фазовом пространстве. В проведен анализ аналитических решений ряда уравнений непрерывности (функций распределения), характеризующих поведение отдельных учащихся в процессе обучения.

При проведении экспериментальных исследований поведения учащихся в процессе усвоения знаний используется вероятностно-статистическое шкалирование , в соответствии с которым шкала измерений представляет собой упорядоченную систему , где A - некоторое вполне упорядоченное множество объектов (индивидов), обладающих интересующими нас признаками (эмпирическая система с отношениями); Ly - функциональное пространство (пространство функций распределения) с отношениями; F - операция гомоморфного отображения A в подсистему Ly; G - группа допустимых преобразований; f - операция отображения функций распределения из подсистемы Ly на числовые системы с отношениями n-мерного пространства M. Вероятностно-статистическое шкалирование применяется для нахождения и обработки экспериментальных функций распределения и включает три этапа.

1. Нахождение экспериментальных функций распределения по результатам контрольного мероприятия, например, экзамена. Типичный вид индивидуальных функций распределения, найденных при использовании двадцатибалльной шкалы, представлен на рис. 1. Методика нахождения таких функций описана в .

2. Отображение функций распределения на числовое пространство. С этой целью проводится расчет моментов индивидуальных функций распределения. На практике, как правило, достаточно ограничиться определением моментов первого порядка (математического ожидания), второго порядка (дисперсии) и третьего порядка, характеризующего асимметрию функции распределения.

3. Ранжирование учащихся по уровню знаний на основе сравнения моментов различных порядков их индивидуальных функций распределения.

Рис. 1. Типичный вид индивидуальных функций распределения студентов, получивших на экзамене по общей физике различные оценки : 1 - традиционная оценка «2»; 2 - традиционная оценка «3»; 3 - традиционная оценка «4»; 4 - традиционная оценка «5»

На основе аддитивности индивидуальных функций распределения в найдены экспериментальные функции распределения для потока студентов (рис. 2).

Рис. 2. Эволюция полной функции распределения потока студентов, аппроксимированной гладкими линиями : 1 - после первого курса; 2 - после второго курса; 3 - после третьего курса; 4 - после четвертого курса; 5 - после пятого курса

Анализ данных, представленных на рис. 2, показывает, что по мере продвижения в информационном пространстве функции распределения расплываются. Это происходит вследствие того, что математические ожидания функций распределения индивидов движутся с разными скоростями, а сами функции расплываются из-за дисперсии. Дальнейший анализ данных функций распределения может быть проведен в рамках классического вероятностно-статистического метода.

Обсуждение результатов. Анализ классического и неклассического вероятностно-статистических методов психолого-педагогических исследований показал, что между ними имеется существенное отличие. Оно, как это можно понять из сказанного выше, заключается в том, что классический метод применим лишь к анализу массовых событий, а неклассический метод применим как к анализу массовых, так и одиночных событий. В связи с этим классический метод может быть условно назван массовым вероятностно-статистическим методом (МВСМ), а неклассический метод - индивидуальным вероятностно-статистическим методом (ИВСМ). В 4] показано, что ни один из классических методов оценки знаний учащихся в рамках вероятностно-статистической модели индивида не может быть применен для этих целей.

Отличительные особенности методов МВСМ и ИВСМ рассмотрим на примере измерения полноты знаний учащихся. С этой целью проведем мысленный эксперимент. Предположим, что имеется большое количество абсолютно одинаковых по психическим и физическим характеристикам учащихся, имеющих одинаковую предысторию, и пусть они, не взаимодействуя друг с другом, одновременно участвуют в одном и том же познавательном процессе, испытывая абсолютно одинаковое строго детерминированное воздействие. Тогда в соответствии с классическими представлениями об объектах измерения все учащиеся должны были бы получить одинаковые оценки полноты знаний с любой заданной точностью измерений. Однако в реальности при достаточно большой точности измерений оценки полноты знаний учащихся будут различаться . Объяснить такой результат измерений в рамках МВСМ не представляется возможным, т. к. исходно предполагается, что воздействие на абсолютно одинаковых невзаимодействующих между собой учащихся имеет строго детерминированный характер. Классический вероятностно-статистический метод не учитывает того, что детерминизм процесса познания реализуется через случайность, внутренне присущую каждому познающему окружающий мир индивиду.

Случайный характер поведения учащегося в процессе усвоения знаний учитывает ИВСМ. Применение индивидуального вероятностно-статистического метода для анализа поведения рассматриваемого идеализированного коллектива учащихся показало бы, что указать точно положение каждого учащегося в информационном пространстве нельзя, можно лишь говорить вероятности нахождения его в той или иной области информационного пространства. Фактически каждый учащийся идентифицируется индивидуальной функцией распределения, причем ее параметры, такие как математическое ожидание, дисперсия и др., индивидуальны для каждого учащегося. Это означает, что индивидуальные функции распределения будут находиться в разных областях информационного пространства. Причина такого поведения учащихся заключается в случайном характере процесса познания.

Однако в ряде случаев результаты исследований, добытые в рамках МВСМ, могут быть интерпретированы и в рамках ИВСМ. Предположим, что преподаватель при оценке знаний учащегося использует пятибалльную шкалу измерений. В этом случае погрешность в оценке знаний составляет ±0,5 балла. Следовательно, когда учащемуся выставляется оценка, например, 4 балла, это означает, что его знания находятся в промежутке от 3,5 баллов до 4,5 баллов. Фактически положение индивида в информационном пространстве в данном случае определяется прямоугольной функцией распределения, ширина которой равна погрешности измерения ±0,5 балла, а оценка является математическим ожиданием. Эта погрешность настолько большая, что не позволяет наблюдать истинный вид функции распределения. Однако, несмотря на столь грубую аппроксимацию функции распределения, изучение ее эволюции позволяет получить важную информацию, как о поведении отдельного индивида, так и коллектива учащихся в целом .

На результат измерения полноты знаний учащегося непосредственно или опосредовано влияет сознание преподавателя (измерителя), которому также свойственна случайность. В процессе педагогических измерений фактически имеет место взаимодействие двух случайных динамических систем, идентифицирующих поведение учащегося и преподавателя в данном процессе. В рассмотрено взаимодействие студенческой подсистемы с профессорско-преподавательской подсистемой и показано, что скорость движения математического ожидания индивидуальных функций распределения студентов в информационном пространстве пропорциональна функции воздействия профессорско-преподавательского коллектива и обратно пропорциональна функции инертности, характеризующей неподатливость изменению положения математического ожидания в пространстве (аналог закона Аристотеля в механике).

В настоящее время, несмотря на значительные достижения в разработке теоретических и практических основ измерений при проведении психолого-педагогических исследований, проблема измерений в целом еще далека от решения. Это связано, прежде всего, с тем, что до сих пор не имеется достаточной информации о влиянии сознания на процесс измерения. Аналогичная ситуация сложилась и при решении проблемы измерений в квантовой механике. Так, в работе при рассмотрении концептуальных проблем квантовой теории измерений говорится о том, что разрешить некоторые парадоксы измерений в квантовой механике «… вряд ли возможно без непосредственного включения сознания наблюдателя в теоретическое описание квантового измерения». Далее говорится, что «… непротиворечивым является предположение о том, что сознание может сделать вероятным некоторое событие, даже если по законам физики (квантовой механики) вероятность этого события мала. Сделаем важное уточнение формулировки: сознание данного наблюдателя может сделать вероятным, что он увидит это событие».

Как используются теория вероятностей и математическая статистика ? Эти дисциплины - основа вероятностно-статистических методов принятия решений . Чтобы воспользоваться их математическим аппаратом, необходимо задачи принятия решений выразить в терминах вероятностно-статистических моделей. Применение конкретного вероятностно-статистического метода принятия решений состоит из трех этапов:

• переход от экономической, управленческой, технологической реальности к абстрактной математико-статистической схеме, т.е. построение вероятностной модели системы управления, технологического процесса, процедуры принятия решений , в частности по результатам статистического контроля, и т.п.;
• проведение расчетов и получение выводов чисто математическими средствами в рамках вероятностной модели;
• интерпретация математико-статистических выводов применительно к реальной ситуации и принятие соответствующего решения (например, о соответствии или несоответствии качества продукции установленным требованиям, необходимости наладки технологического процесса и т.п.), в частности, заключения (о доле дефектных единиц продукции в партии, о конкретном виде законов распределения контролируемых параметров технологического процесса и др.).

Математическая статистика использует понятия, методы и результаты теории вероятностей. Рассмотрим основные вопросы построения вероятностных моделей принятия решений в экономических, управленческих, технологических и иных ситуациях. Для активного и правильного использования нормативно-технических и инструктивно-методических документов по вероятностно-статистическим методам принятия решений нужны предварительные знания. Так, необходимо знать, при каких условиях следует применять тот или иной документ, какую исходную информацию необходимо иметь для его выбора и применения, какие решения должны быть приняты по результатам обработки данных и т.д.

Примеры применения теории вероятностей и математической статистики . Рассмотрим несколько примеров, когда вероятностно-статистические модели являются хорошим инструментом для решения управленческих, производственных, экономических, народнохозяйственных задач. Так, например, в романе А.Н. Толстого "Хождение по мукам" (т.1) говорится: "мастерская дает двадцать три процента брака, этой цифры вы и держитесь, - сказал Струков Ивану Ильичу".

Встает вопрос, как понимать эти слова в разговоре заводских менеджеров, поскольку одна единица продукции не может быть дефектна на 23%. Она может быть либо годной, либо дефектной. Наверное, Струков имел в виду, что в партии большого объема содержится примерно 23% дефектных единиц продукции. Тогда возникает вопрос, а что значит "примерно"? Пусть из 100 проверенных единиц продукции 30 окажутся дефектными, или из 1000-300, или из 100000-30000 и т.д., надо ли обвинять Струкова во лжи?

Или другой пример. Монетка, которую используют как жребий, должна быть "симметричной", т.е. при ее бросании в среднем в половине случаев должен выпадать герб, а в половине случаев - решетка (решка, цифра). Но что означает "в среднем"? Если провести много серий по 10 бросаний в каждой серии, то часто будут встречаться серии, в которых монетка 4 раза выпадает гербом. Для симметричной монеты это будет происходить в 20,5% серий. А если на 100000 бросаний окажется 40000 гербов, то можно ли считать монету симметричной? Процедура принятия решений строится на основе теории вероятностей и математической статистики.

Рассматриваемый пример может показаться недостаточно серьезным. Однако это не так. Жеребьевка широко используется при организации промышленных технико-экономических экспериментов, например, при обработке результатов измерения показателя качества (момента трения) подшипников в зависимости от различных технологических факторов (влияния консервационной среды, методов подготовки подшипников перед измерением, влияния нагрузки подшипников в процессе измерения и т.п.). Допустим, необходимо сравнить качество подшипников в зависимости от результатов хранения их в разных консервационных маслах, т.е. в маслах состава и . При планировании такого эксперимента возникает вопрос, какие подшипники следует поместить в масло состава , а какие - в масло состава , но так, чтобы избежать субъективизма и обеспечить объективность принимаемого решения.

Ответ на этот вопрос может быть получен с помощью жребия. Аналогичный пример можно привести и с контролем качества любой продукции. Чтобы решить, соответствует или не соответствует контролируемая партия продукции установленным требованиям, делается выборка . По результатам контроля выборки делается заключение обо всей партии. В этом случае очень важно избежать субъективизма при формировании выборки, т.е. необходимо, чтобы каждая единица продукции в контролируемой партии имела одинаковую вероятность быть отобранной в выборку. В производственных условиях отбор единиц продукции в выборку обычно осуществляют не с помощью жребия, а по специальным таблицам случайных чисел или с помощью компьютерных датчиков случайных чисел.

Аналогичные проблемы обеспечения объективности сравнения возникают при сопоставлении различных схем организации производства , оплаты труда, при проведении тендеров и конкурсов, подбора кандидатов на вакантные должности и т.п. Всюду нужна жеребьевка или подобные ей процедуры. Поясним на примере выявления наиболее сильной и второй по силе команд при организации турнира по олимпийской системе (проигравший выбывает). Пусть всегда более сильная команда побеждает более слабую. Ясно, что самая сильная команда однозначно станет чемпионом. Вторая по силе команда выйдет в финал тогда и только тогда, когда до финала у нее не будет игр с будущим чемпионом. Если такая игра будет запланирована, то вторая по силе команда в финал не попадет. Тот, кто планирует турнир, может либо досрочно "выбить" вторую по силе команду из турнира, сведя ее в первой же встрече с лидером, либо обеспечить ей второе место , обеспечив встречи с более слабыми командами вплоть до финала. Чтобы избежать субъективизма, проводят жеребьевку. Для турнира из 8 команд вероятность того, что в финале встретятся две самые сильные команды, равна 4/7. Соответственно с вероятностью 3/7 вторая по силе команда покинет турнир досрочно.

При любом измерении единиц продукции (с помощью штангенциркуля, микрометра, амперметра и т.п.) имеются погрешности. Чтобы выяснить, есть ли систематические погрешности, необходимо сделать многократные измерения единицы продукции, характеристики которой известны (например, стандартного образца). При этом следует помнить, что кроме систематической присутствует и случайная погрешность .

Поэтому встает вопрос, как по результатам измерений узнать, есть ли систематическая погрешность . Если отмечать только, является ли полученная при очередном измерении погрешность положительной или отрицательной, то эту задачу можно свести к предыдущей. Действительно, сопоставим измерение с бросанием монеты, положительную погрешность - с выпадением герба, отрицательную - решетки (нулевая погрешность при достаточном числе делений шкалы практически никогда не встречается). Тогда проверка отсутствия систематической погрешности эквивалентна проверке симметричности монеты.

Целью этих рассуждений является сведение задачи проверки отсутствия систематической погрешности к задаче проверки симметричности монеты. Проведенные рассуждения приводят к так называемому "критерию знаков" в математической статистике.

При статистическом регулировании технологических процессов на основе методов математической статистики разрабатываются правила и планы статистического контроля процессов, направленные на своевременное обнаружение разладки технологических процессов, принятия мер к их наладке и предотвращению выпуска продукции, не соответствующей установленным требованиям. Эти меры нацелены на сокращение издержек производства и потерь от поставки некачественных единиц продукции. При статистическом приемочном контроле на основе методов математической статистики разрабатываются планы контроля качества путем анализа выборок из партий продукции. Сложность заключается в том, чтобы уметь правильно строить вероятностно-статистические модели принятия решений , на основе которых можно ответить на поставленные выше вопросы. В математической статистике для этого разработаны вероятностные модели и методы проверки гипотез, в частности, гипотез о том, что доля дефектных единиц продукции равна определенному числу , например, (вспомните слова Струкова из романа А.Н. Толстого).

Задачи оценивания . В ряде управленческих, производственных, экономических, народнохозяйственных ситуаций возникают задачи другого типа - задачи оценки характеристик и параметров распределений вероятностей.

Рассмотрим пример. Пусть на контроль поступила партия из N электроламп. Из этой партии случайным образом отобрана выборка объемом n электроламп. Возникает ряд естественных вопросов. Как по результатам испытаний элементов выборки определить средний срок службы электроламп и с какой точностью можно оценить эту характеристику? Как изменится точность , если взять выборку большего объема? При каком числе часов можно гарантировать, что не менее 90% электроламп прослужат и более часов?

Предположим, что при испытании выборки объемом электроламп дефектными оказались электроламп. Тогда возникают следующие вопросы. Какие границы можно указать для числа дефектных электроламп в партии, для уровня дефектности и т.п.?

Или при статистическом анализе точности и стабильности технологических процессов надлежит оценить такие показатели качества , как среднее значение контролируемого параметра и степень его разброса в рассматриваемом процессе. Согласно теории вероятностей в качестве среднего значения случайной величины целесообразно использовать ее математическое ожидание, а в качестве статистической характеристики разброса - дисперсию, среднее квадратическое отклонение или коэффициент вариации . Отсюда возникает вопрос: как оценить эти статистические характеристики по выборочным данным и с какой точностью это удается сделать? Аналогичных примеров можно привести очень много. Здесь важно было показать, как теория вероятностей и математическая статистика могут быть использованы в производственном менеджменте при принятии решений в области статистического управления качеством продукции.

Что такое "математическая статистика" ? Под математической статистикой понимают "раздел математики, посвященный математическим методам сбора, систематизации, обработки и интерпретации статистических данных, а также использование их для научных или практических выводов. Правила и процедуры математической статистики опираются на теорию вероятностей, позволяющую оценить точность и надежность выводов, получаемых в каждой задаче на основании имеющегося статистического материала" [ [ 2.2 ] , с. 326]. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

По типу решаемых задач математическая статистика обычно делится на три раздела: описание данных, оценивание и проверка гипотез.

По виду обрабатываемых статистических данных математическая статистика делится на четыре направления:

• одномерная статистика (статистика случайных величин), в которой результат наблюдения описывается действительным числом;
• многомерный статистический анализ, где результат наблюдения над объектом описывается несколькими числами (вектором);
• статистика случайных процессов и временных рядов, где результат наблюдения - функция;
• статистика объектов нечисловой природы, в которой результат наблюдения имеет нечисловую природу, например, является множеством (геометрической фигурой), упорядочением или получен в результате измерения по качественному признаку.

Исторически первыми появились некоторые области статистики объектов нечисловой природы (в частности, задачи оценивания доли брака и проверки гипотез о ней) и одномерная статистика . Математический аппарат для них проще, поэтому на их примере обычно демонстрируют основные идеи математической статистики.

Лишь те методы обработки данных, т.е. математической статистики, являются доказательными, которые опираются на вероятностные модели соответствующих реальных явлений и процессов. Речь идет о моделях поведения потребителей, возникновения рисков, функционирования технологического оборудования, получения результатов эксперимента, течения заболевания и т.п. Вероятностную модель реального явления следует считать построенной, если рассматриваемые величины и связи между ними выражены в терминах теории вероятностей. Соответствие вероятностной модели реальности, т.е. ее адекватность , обосновывают, в частности, с помощью статистических методов проверки гипотез.

Невероятностные методы обработки данных являются поисковыми, их можно использовать лишь при предварительном анализе данных, так как они не дают возможности оценить точность и надежность выводов, полученных на основании ограниченного статистического материала.

Вероятностные и статистические методы применимы всюду, где удается построить и обосновать вероятностную модель явления или процесса. Их применение обязательно, когда сделанные на основе выборочных данных выводы переносятся на всю совокупность (например, с выборки на всю партию продукции).

В конкретных областях применений используются как вероятностно- статистические методы широкого применения, так и специфические. Например, в разделе производственного менеджмента, посвященного статистическим методам управления качеством продукции, используют прикладную математическую статистику (включая планирование экспериментов). С помощью ее методов проводится статистический анализ точности и стабильности технологических процессов и статистическая оценка качества. К специфическим относятся методы статистического приемочного контроля качества продукции, статистического регулирования технологических процессов, оценки и контроля надежности и др.

Широко применяются такие прикладные вероятностно-статистические дисциплины, как теория надежности и теория массового обслуживания. Содержание первой из них ясно из названия, вторая занимается изучением систем типа телефонной станции, на которую в случайные моменты времени поступают вызовы - требования абонентов, набирающих номера на своих телефонных аппаратах. Длительность обслуживания этих требований, т.е. длительность разговоров, также моделируется случайными величинами. Большой вклад в развитие этих дисциплин внесли член-корреспондент АН СССР А.Я. Хинчин (1894-1959), академик АН УССР Б.В. Гнеденко (1912-1995) и другие отечественные ученые.

Коротко об истории математической статистики . Математическая статистика как наука начинается с работ знаменитого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), который на основе теории вероятностей исследовал и обосновал метод наименьших квадратов , созданный им в 1795 г. и примененный для обработки астрономических данных (с целью уточнения орбиты малой планеты Церера). Его именем часто называют одно из наиболее популярных распределений вероятностей - нормальное, а в теории случайных процессов основной объект изучения - гауссовские процессы.

В конце XIX в. - начале ХХ в. крупный вклад в математическую статистику внесли английские исследователи, прежде всего К. Пирсон (1857-1936) и Р.А. Фишер (1890-1962). В частности, Пирсон разработал критерий "хи-квадрат" проверки статистических гипотез, а Фишер - дисперсионный анализ , теорию планирования эксперимента, метод максимального правдоподобия оценки параметров.

В 30-е годы ХХ в. поляк Ежи Нейман (1894-1977) и англичанин Э. Пирсон развили общую теорию проверки статистических гипотез, а советские математики академик А.Н. Колмогоров (1903-1987) и член-корреспондент АН СССР Н.В. Смирнов (1900-1966) заложили основы непараметрической статистики. В сороковые годы ХХ в. румын А. Вальд (1902-1950) построил теорию последовательного статистического анализа.

Математическая статистика бурно развивается и в настоящее время. Так, за последние 40 лет можно выделить четыре принципиально новых направления исследований [ [ 2.16 ] ]:

• разработка и внедрение математических методов планирования экспериментов;
• развитие статистики объектов нечисловой природы как самостоятельного направления в прикладной математической статистике;
• развитие статистических методов, устойчивых по отношению к малым отклонениям от используемой вероятностной модели;
• широкое развертывание работ по созданию компьютерных пакетов программ, предназначенных для проведения статистического анализа данных.

Вероятностно-статистические методы и оптимизация . Идея оптимизации пронизывает современную прикладную математическую статистику и иные статистические методы . А именно - методы планирования экспериментов, статистического приемочного контроля, статистического регулирования технологических процессов и др. С другой стороны, оптимизационные постановки в теории принятия решений , например, прикладная теория оптимизации качества продукции и требований стандартов, предусматривают широкое использование вероятностно-статистических методов, прежде всего прикладной математической статистики.

В производственном менеджменте, в частности, при оптимизации качества продукции и требований стандартов особенно важно применять статистические методы на начальном этапе жизненного цикла продукции, т.е. на этапе научно-исследовательской подготовки опытно-конструкторских разработок (разработка перспективных требований к продукции, аванпроекта, технического задания на опытно-конструкторскую разработку). Это объясняется ограниченностью информации, доступной на начальном этапе жизненного цикла продукции, и необходимостью прогнозирования технических возможностей и экономической ситуации на будущее. Статистические методы должны применяться на всех этапах решения задачи оптимизации - при шкалировании переменных, разработке математических моделей функционирования изделий и систем, проведении технических и экономических экспериментов и т.д.

В задачах оптимизации, в том числе оптимизации качества продукции и требований стандартов, используют все области статистики. А именно - статистику случайных величин, многомерный статистический анализ , статистику случайных процессов и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы. Выбор статистического метода для анализа конкретных данных целесообразно проводить согласно рекомендациям [

В соответствии с тремя основными возможностями - принятие решения в условиях полной определенности, риска и неопределенности - методы и алгоритмы принятия решения можно разделить на три основных вида: аналитические, статистические и основанные на нечеткой формализации. В каждом конкретном случае метод принятия решения выбирается, исходя из поставленной задачи, доступных исходных данных, имеющихся моделей задачи, среды принятия решения, процесса принятия решения, требуемой точности решения, личных предпочтений аналитика.

В некоторых информационных системах процесс выбора алгоритма может быть автоматизирован:

В соответствующей автоматизированной системе заложена возможность использования множества разнотипных алгоритмов (библиотека алгоритмов);

Система в диалоговом режиме предлагает пользователю ответить на ряд вопросов об основных характеристиках рассматриваемой задачи;

По результатам ответов пользователя система предлагает наиболее подходящий (в соответствии с заданными в ней критериями) алгоритм из библиотеки.

2.3.1 Вероятностно-статистические методы принятия решения

Вероятностно-статистические методы принятия решения (МПР) используются в том случае, когда эффективность принимаемых решений зависит от факторов, представляющих собой случайные величины, для которых известны законы распределения вероятностей и другие статистические характеристики. При этом каждое решение может привести к одному из множества возможных исходов, причем каждый исход имеет определенную вероятность появления, которая может быть рассчитана. Показатели, характеризующие проблемную ситуацию, также описываются с помощью вероятностных характеристик.При таких ЗПР ЛПР всегда рискует получить не тот результат, на который ориентируется, выбирая оптимальное решение на основе осредненных статистических характеристик случайных факторов, то есть решение принимается в условиях риска.

На практике вероятностные и статистических методы часто применяются, когда сделанные на основе выборочных данных выводы переносятся на всю совокупность (например, с выборки на всю партию продукции). Однако при этом в каждой конкретной ситуации следует предварительно оценить принципиальную возможность получения достаточно достоверных вероятностных и статистических данных.

При использовании идей и результатов теории вероятностей и математической статистики при принятии решений базой является математическая модель, в которой объективные соотношения выражены в терминах теории вероятностей. Вероятности используются прежде всего для описания случайности, которую необходимо учитывать при принятии решений. Имеются в виду как нежелательные возможности (риски), так и привлекательные («счастливый случай»).

Суть вероятностно-статистических методов принятия решений состоит в использовании вероятностных моделей на основе оценивания и проверки гипотез с помощью выборочных характеристик .

Подчеркнем, что логика использования выборочных характеристик для принятия решений на основе теоретических моделей предполагает одновременное использование двух параллельных рядов понятий – относящиеся к теории (вероятностной модели) и относящиеся к практике (выборке результатов наблюдений). Например, теоретической вероятности соответствует частота, найденная по выборке. Математическому ожиданию (теоретический ряд) соответствует выборочное среднее арифметическое (практический ряд). Как правило, выборочные характеристики являются оценками теоретических характеристик.

К преимуществам использования этих методов относится возможность учета различных сценариев развития событий и их вероятностей. Недостатком этих методов является то, что используемые в расчетах значения вероятностей развития сценариев обычно практически очень трудно получить.

Применение конкретного вероятностно-статистического метода принятия решений состоит из трех этапов:

Переход от экономической, управленческой, технологической реальности к абстрактной математико-статистической схеме, т.е. построение вероятностной модели системы управления, технологического процесса, процедуры принятия решений, в частности по результатам статистического контроля, и т.п.

Проведение расчетов и получение выводов чисто математическими средствами в рамках вероятностной модели;

Интерпретация математико-статистических выводов применительно к реальной ситуации и принятие соответствующего решения (например, о соответствии или несоответствии качества продукции установленным требованиям, необходимости наладки технологического процесса и т.п.), в частности, заключения (о доле дефектных единиц продукции в партии, о конкретном виде законов распределения контролируемых параметров технологического процесса и др.).

Вероятностную модель реального явления следует считать построенной, если рассматриваемые величины и связи между ними выражены в терминах теории вероятностей. Адекватность вероятностной модели обосновывают, в частности, с помощью статистических методов проверки гипотез.

Математическая статистика по типу решаемых задач обычно делится на три раздела: описание данных, оценивание и проверка гипотез. По виду обрабатываемых статистических данных математическая статистика делится на четыре направления:

Одномерная статистика (статистика случайных величин), в которой результат наблюдения описывается действительным числом;

Многомерный статистический анализ, где результат наблюдения над объектом описывается несколькими числами (вектором);

Статистика случайных процессов и временных рядов, где результат наблюдения – функция;

Статистика объектов нечисловой природы, в которой результат наблюдения имеет нечисловую природу, например, является множеством (геометрической фигурой), упорядочением или получен в результате измерения по качественному признаку.

Пример, когда целесообразно использовать вероятностно-статистические модели.

При контроле качества любой продукции для принятии решения о том соответствует ли выпускаемая партия продукции установленным требованиям, из нее отбирается выборка. По результатам контроля выборки делается заключение о всей партии. В этом случае очень важно избежать субъективизма при формировании выборки, т.е необходимо, чтобы каждая единица продукции в контролируемой партии имела одинаковую вероятность быть отобранной в выборку. Выбор на основании жребия в такой ситуации не является достаточно объективным. Поэтому в производственных условиях отбор единиц продукции в выборку обычно осуществляют не с помощью жребия, а по специальным таблицам случайных чисел или с помощью компьютерных датчиков случайных чисел.

При статистическом регулировании технологических процессов на основе методов математической статистики разрабатываются правила и планы статистического контроля процессов, направленные на своевременное обнаружение разладки технологических процессов и принятия мер к их наладке и предотвращению выпуска продукции, не соответствующей установленным требованиям. Эти меры нацелены на сокращение издержек производства и потерь от поставки некачественных единиц продукции. При статистическом приемочном контроле на основе методов математической статистики разрабатываются планы контроля качества путем анализа выборок из партий продукции. Сложность заключается в том, чтобы уметь правильно строить вероятностно-статистические модели принятия решений, на основе которых можно ответить на поставленные выше вопросы. В математической статистике для этого разработаны вероятностные модели и методы проверки гипотез3.

Кроме того, в ряде управленческих, производственных, экономических, народнохозяйственных ситуаций возникают задачи другого типа – задачи оценки характеристик и параметров распределений вероятностей.

Или при статистическом анализе точности и стабильности технологических процессов надлежит оценить такие показатели качества, как среднее значение контролируемого параметра и степень его разброса в рассматриваемом процессе. Согласно теории вероятностей в качестве среднего значения случайной величины целесообразно использовать ее математическое ожидание, а в качестве статистической характеристики разброса – дисперсию, среднее квадратическое отклонение или коэффициент вариации. Отсюда возникает вопрос: как оценить эти статистические характеристики по выборочным данным и с какой точностью это удается сделать? Аналогичных примеров в литературе много. Все они показывают, как теория вероятностей и математическая статистика могут быть использованы в производственном менеджменте при принятии решений в области статистического управления качеством продукции.

В конкретных областях применений используются как вероятностно-статистические методы широкого применения, так и специфические. Например, в разделе производственного менеджмента, посвященного статистическим методам управления качеством продукции, используют прикладную математическую статистику (включая планирование экспериментов). С помощью ее методов проводится статистический анализ точности и стабильности технологических процессов и статистическая оценка качества. К специфическим методам относятся методы статистического приемочного контроля качества продукции, статистического регулирования технологических процессов, оценки и контроля надежности и др.

В производственном менеджменте, в частности, при оптимизации качества продукции и обеспечения соответствия требованиям стандартов особенно важно применять статистические методы на начальном этапе жизненного цикла продукции, т.е. на этапе научно-исследовательской подготовки опытно-конструкторских разработок (разработка перспективных требований к продукции, аванпроекта, технического задания на опытно-конструкторскую разработку). Это объясняется ограниченностью информации, доступной на начальном этапе жизненного цикла продукции, и необходимостью прогнозирования технических возможностей и экономической ситуации на будущее.

Наиболее распространенными вероятностно-статистическими методами являются регрессионный анализ, факторный анализ, дисперсионный анализ, статистические методы оценки риска, метод сценариев и т.д. Все большее значение приобретает область статистических методов, посвященная анализу статистических данных нечисловой природы, т.е. результатов измерений по качественным и разнотипным признакам. Одно из основных применений статистики объектов нечисловой природы - теория и практика экспертных оценок, связанные с теорией статистических решений и проблемами голосования.

Роль человека при решении задач методами теории статистических решений заключается в постановке задачи, т. е. в приведении реальной задачи к соответствующей типовой, в определении вероятностей событий на основе статистических данных, а также в утверждении получаемого оптимального решения.