Определение прямой параллельной плоскости в пространстве. Параллельные прямая и плоскость, признак и условия параллельности прямой и плоскости

Начальная геометрия изучает понятия и соотношение объектов. Без четкого обоснования нельзя ориентироваться в прикладной области. Признак параллельности прямой и плоскости – первый шаг в геометрию пространства. Овладение начальными категориями позволит приблизиться к увлекательному миру точности, логики, ясности.

Вконтакте

Соотношение объектов: возможные варианты

Стереометрия – инструмент познания мира. Она рассматривает отношение объектов друг к другу, учит вычислять расстояния без линейки. Успешная практика требует овладеть основными понятиями.

Имеется поверхность а и линия l. Есть три случая соотношения объектов. Их определяют точки пересечения. Легко запомнить:

• 0 точек — параллельны;
• 1 точка — взаимно пересекаются;
• бесконечно много — прямая лежит в плоскости.

Легко описать признак параллельности объектов. На поверхности а существует линия с || l, то l || а.

Простое заявление требует доказательства. Пусть поверхность проведена через линии: l || c. В Ω а = с. Пусть l имеет с а общую точку. Она должна лежать на с. Это противоречит условию: l || c. Тогда l параллельна плоскости a. Начальное положение верно.

Важно ! В пространстве существует хотя бы одна линия || плоской поверхности. Это созвучно утверждению начальной геометрии (планиметрии).

Простая мысль: а принадлежит больше одной точки l, значит прямая l целиком принадлежит а.

a || l только в случае отсутствия единственной точки пересечения.

Это логичное определение параллельности прямой и плоскости.

Легко найти практическое применение положения. Как доказать, что одна прямая параллельна плоскости?

Достаточно использовать исследованный признак.

Что полезно знать

Для грамотного решения задач требуется изучить дополнительные расположения предметов. Основа — признак параллельности прямой и плоскости. Его применение облегчит понимание других элементов. Геометрия пространства рассматривает частные случаи.

Пересечения в стереометрии

Объекты прежние: плоская поверхность а, линии с, l. Как они соседствуют? С || l. L пересекает а. Легко понять: с обязательно пересечет а. Эта мысль — лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.

Поле деятельности расширяется. К исследуемым объектам добавляется поверхность в. Ей принадлежит l. В исходных объектах ничего не меняется: l || а. Опять получается просто: в случае пересечения плоскостей общая линия d || l. Сразу вытекает понятие: какие две плоскости называются пересекающимися. Те, которые имеют общую прямую.

Какие теоремы требуется изучить

Главные понятия отношения предметов приводят к описанию основных утверждений. Они требуют развернутого доказательства. Первая: теоремы о параллельности одной прямой и плоскости. Рассматриваются разные случаи.

1. Объекты: поверхности P, Q, R, прямые АB, CD. Условие: P||Q, R их пересекает. Естественно, АB||CD.

1. Предметы исследования: линии AB, CD, A1B1, C1D1. AB пересекается с CD в одной плоскости, A1B1 — с C1D1 в другой. AB||A1B1, CD||C1D1. Вывод: поверхности, включающие пересекающиеся попарно параллельные линии, ||.

Возникает новое понятие. Скрещивающиеся прямые сами не параллельны, хотя лежат в параллельных плоскостях. Это C1D1 и АВ, А1В1 и CD. Это явление широко применяется в практической стереометрии.

Естественное заявление: через одну из скрещивающихся линий реально проходит единственная параллельная указанной плоскость.

1. Дальше легко прийти к теореме о следе. Это третье из утверждений о параллельности прямой и поверхности. Есть прямая l. Она || а. l принадлежит в. В Ω а = d. Единственно возможный вариант: d || l.

Важно! Прямая и плоскость называются || при отсутствии общих объектов — точек.

Свойства параллельности и их доказательства

Легко прийти к понятию расположения плоских поверхностей:

• пустое множество общих точек (называются параллельными);
• пересекаются по прямой.

В стереометрии находят применение свойства параллельности. Любая пространственная картинка имеет поверхности и линии. Для успешного решения задач требуется изучить основные теоремы:

• Исследуемые объекты: a || b; c Ω b = l, c Ω a = m. Вывод: l ||m. Предположение требует доказательства. Расположение l и m одно из двух: пересекаются или параллельны. Но во втором случае поверхности не имеют общих точек. Тогда l || m. Утверждение доказано. Следует запомнить: если прямая лежит в плоскости, то они имеют более одной точки пересечения.

• Имеются поверхность а, точка А не принадлежит а. Тогда существует только одна поверхность b || a, проходящая через А. Доказать положение просто. Пусть l Ω m; l, m принадлежат а. Через каждую из них и А строится плоскость. Она пересекает а. В ней существует линия, проходящая через А и || а. В точке А они являются пересекающимися. Они образуют единственную поверхность b || a.

• Существуют скрещивающиеся прямые l и m. Тогда имеются || поверхности а и b, которым принадлежат l и m. Логично поступить так: на l и m выбрать произвольные точки. Провести m1 || m, l1 || l. Пересекающиеся линия попарно || => a || b. Положение доказано.

Знание свойств параллельности одной прямой и плоскости позволит умело применять их на практике. Простые и логичные доказательства помогут ориентироваться в увлекательном мире стереометрии.

Плоскости: оценка параллельности

Описать понятие просто. Вопрос: что значит, одна прямая и плоскость параллельны, решен. Исследование начальных категорий геометрии пространства привело к более сложному утверждению.

При решении прикладных задач применяется признак параллельности. Простое описание: пусть l Ω m, l1 Ω m1, l, m принадлежат а, l1, m1 – b. При этом l || l1, m || m1. Тогда a || b.

Без применения математических символов: плоскости называются параллельными, если проведены через пересекающиеся попарно параллельные прямые.

Стереометрия рассматривает свойства параллельных плоскостей . Их описывают теоремы:

Исследуемые объекты: a || b, a Ω c = l, b Ω c = m. Тогда l || m. Очевидно доказательство. и Прямые лежат в одной плоскости, если они || или пересекаются. Следует применить утверждение о параллельности прямой и поверхности. Тогда становится очевидно: пересекаться l и m не могут. Остается единственное – l || m.

Определение параллельных прямых и их свойства в пространстве такие же, как и на плоскости (см. п. 11).

Вместе с тем в пространстве возможен еще один случай расположения прямых - скрещивающиеся прямые. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

На рисунке 121 изображен макет жилой комнаты. Вы видите, что прямые, которым принадлежат отрезки АВ и ВС и являются скрещивающимися.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися параллельными им прямыми. Этот угол не зависит от того, какие взяты пересекающиеся прямые.

Градусная мера угла между параллельными прямыми считается равной нулю.

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них. Можно доказать, что две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

Таким образом, для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми а и b (рис. 122) нужно провести через каждую из этих прямых параллельные плоскости а и . Расстояние между этими плоскостями и будет расстоянием между скрещивающимися прямыми а и b. На рисунке 122 этим расстоянием является, например, расстояние АВ.

Пример. Прямые а и b параллельны, а прямые с и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых а и пересекать обе прямые

Решение. Прямые а и b лежат в одной плоскости, и поэтому любая прямая, пересекающая каждую из них, лежит в той же плоскости. Следовательно, если бы каждая из прямых а, b пересекала обе прямые с и d, то прямые лежали бы в одной плоскости с прямыми а и b, а этого быть не может, так как прямые скрещиваются.

42. Параллельность прямой и плоскости.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются, т. е. не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости а, то пишут: .

На рисунке 123 изображена прямая а, параллельная плоскости а.

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости (признак параллельности прямой и плоскости).

Эта теорема позволяет в конкретной ситуации доказать, что прямая и плоскость являются параллельными. На рисунке 124 изображена прямая b, параллельная прямой а, лежащей в плоскости а, т. е. по прямая b параллельна плоскости а, т. е.

Пример. Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника ABC параллельно гипотенузе на расстоянии 10 см от нее проведена плоскость. Проекции катетов на эту плоскость равны 30 и 50 см. Найти проекцию гипотенузы на ту же плоскость.

Решение. Из прямоугольных треугольников BBVC и (рис. 125) находим:

Из треугольника ABC находим:

Проекция гипотенузы АВ на плоскость а равна . Так как АВ параллельна плоскости а, то Итак, .

43. Параллельные плоскости.

Две плоскости называются параллельными. если они не пересекаются.

Две плоскости параллельны» если одна на них параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости (признак параллельности двух плоскостей).

На рисунке 126 плоскость а параллельна пересекающимся прямым а и b, лежащим в плоскости , тогда по эти плоскости параллельны.

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

На рисунке 127 изображены две параллельные плоскости , а плоскость у их пересекает по прямым а и b. Тогда по теореме 2.7 можно утверждать, что прямые а и b параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

По Т.2.8 отрезки АВ и изображенные на рисунке 128, равны, так как

Пусть данные плоскости пересекаются. Проведем плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями (рис. 129). Определяемый так угол между плоскостями не зависит от выбора секущей плоскости.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Курс геометрии широк, объемен и многогранен: он включает в себя множество различных тем, правил, теорем и полезных знаний. Можно представить, что все в нашем мире состоит из простого, даже наиболее сложное. Точки, прямые, плоскости - все это есть и в вашей жизни. И они поддаются имеющимся в мире законам о соотношении объектов в пространстве. Чтобы доказать это, можно попытаться доказать параллельность прямых и плоскостей.

Прямая - это линия, которая соединяет две точки по кратчайшей траектории, не заканчиваясь и длясь с обоих сторон в бесконечность. Плоскость - это поверхность, образующаяся при кинематическом движении образующей прямой линии по направляющей. Другими словами, если две любые прямые имеют точку пересечения в пространстве, они могут лежать и в одной плоскости. Однако как выразить и прямых, если этих данных недостаточно для подобного утверждения?

Главное условие параллельности прямой и плоскости - чтобы они не имели общих точек. В отличие от прямых, которые могут при отсутствии общих точек являться не параллельными, а расходящимися, плоскость двухмерна, что исключает такое понятие, как расходящиеся прямые. Если данное условие параллельности не соблюдено - значит, прямая пересекает данную плоскость в какой-то одной точке либо лежит в ней полностью.

Что же показывает нам условие параллельности прямой и плоскости нагляднее всего? То, что в любой точке пространства расстояние между параллельными прямой и плоскостью будет константой. При существовании хоть малейшего, в миллиардные доли градуса, уклона прямая рано или поздно пересечет плоскость за счет обоюдной бесконечности. Именно поэтому параллельность прямой и плоскости возможна только при соблюдении этого правила, иначе главное ее условие - отсутствие общих точек - соблюдено не будет.

Что можно добавить, рассказывая про параллельность прямых и плоскостей? То, что если одна из параллельных прямых принадлежит плоскости, то вторая или параллельна плоскости, или тоже принадлежит ей. Как это доказать? Параллельность прямой и плоскости, заключающей в себе прямую, параллельную данной, доказывается очень просто. не имеют общих точек - стало быть, они не пересекаются. А если прямая не пересекается с плоскостью в одной точке - значит, она или параллельна, или лежит на плоскости. Это еще раз доказывает параллельность прямой и плоскости, не имеющих точек пересечения.

В геометрии есть также теорема, которая утверждает, что если существуют две плоскости и прямая линия, перпендикулярна им обеим, то плоскости параллельны. Схожая теорема утверждает, что если две прямые бывают перпендикулярны одной любой плоскости, они обязательно будут параллельны друг другу. Верна ли и доказуема ли параллельность прямых и плоскостей, выраженная данными теоремами?

Оказывается, это так. Прямая, перпендикулярная плоскости, всегда будет строго перпендикулярна любой прямой, которая пролегает в данной плоскости и также имеет с другой прямой точку пересечения. Если прямая имеет подобные пересечения с несколькими плоскостями и во всех случаях является им перпендикулярной - значит, все данные плоскости параллельны друг другу. Наглядным примером может служить детская пирамидка: ее ось будет искомой перпендикулярной прямой, а кольца пирамидки - плоскостями.

Стало быть, доказать параллельность прямой и плоскости достаточно легко. Эти знания получаются школьниками при изучении азов геометрии и во многом определяют дальнейшее усвоение материала. Если уметь грамотно пользоваться полученными в начале обучения знаниями, можно будет оперировать куда большим количеством формул и пропускать ненужные логические связки между ними. Главное - это понимание основ. Если же его нет - то изучение геометрии можно сравнить со строительством без фундамента. Именно поэтому данная тема требует пристального внимания и досконального исследования.

Некоторые следствия из аксиом

Теорема 1:

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна .

Дано: М ₵ а

Доказать: 1) Существует α: а ∈ α , М ∈ b ∈ α

2) α - единственная

Доказательство:

1) На прямой, а выберем точки P и Q. Тогда имеем 3 точки – Р , Q, M , которые не лежат на одной прямой.

2) По аксиоме А1, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, т.е. плоскость α, которая содержит прямую а и точку М , существует.

3) Теперь докажем, что α единственная. Предположим, что существует плоскость β, которая проходит и через точку М, и через прямую а, но тогда эта плоскость через точки Р, Q, M. А через три точки Р, Q, M , не лежащие на одной прямой, в силу 1 аксиомы, проходит только одна плоскость.

4) Значит, эта плоскость совпадает с плоскостью α . Следовательно 1) На прямой, а выберем точки P и Q . Тогда имеем 3 точки – Р, Q, M, которые не лежат на одной прямой. Следовательно α – единственная.

Теорема доказана.

1)На прямой b возьмем точку N, которая не совпадает с точкой М, то есть N ∈ b, N≠M

2)Тогда имеем точку N, которая не принадлежит прямой a. По предыдущей теореме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость. Назовем ее плоскостью α. Значит, такая плоскость, которая проходит через прямую a и точку N, существует.

3)Докажем единственность этой плоскости. Предположим противное. Пусть существует плоскость β, такая, которая проходит и через прямую а, и через прямую b. Но тогда она также проходит и через прямую а и точку N. Но по предыдущей теореме эта плоскость единственна, т.е. плоскость β совпадает с плоскостью α.

4)Значит, мы доказали существование единственной плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

Теорема доказана.

Теорема о параллельности прямых

Теорема:

Через любую точку пространства, не лежащей на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной прямой.

Дано: прямая а, M ₵ а

Доказать: Существует единственная прямая b ∥ а, М ∈ b