Средняя квадратичная скорость молекулы v. Средняя квадратичная скорость молекул — среднее квадратическое значение модулей скоростей всех молекул рассматриваемого количества газа

Это несуществующая физическая модель газа, который состоит из большого числа молекул, размеры которых ничтожно малы по сравнению со средними расстояниями между ними. Молекулы такого газа можно считать материальными точками , это означает, что их вращательное и колебательное движения не принимаются во внимание. Движение молекул происходит без столкновений с другими молекулами, подчиняется законам Ньютона . Соударения молекул со стенками сосуда являются абсолютно упругими .

Параметры состояния газа

Давление, температура и объем - параметры состояния газа . Или их называют макропараметрами. Температура - внешняя характеристика скоростей частиц газа. Давление - внешняя характеристика соударений со стенками, например, сосуда. Объем - место, куда заключены частицы газа. Газ занимает весь предоставленный ему объем. Существуют еще внешние параметры, например тела или поля, действующие на газ из вне.

Микропараметры (маленькие, внутренние характеристики) газа - это параметры, которые мы не можем оценить без специальных экспериментов, например, скорость и направление движения каждой молекулы газа.

Состояние термодинамической системы, когда все ее параметры при неизменных внешних условиях не изменяются со временем, называют равновесным.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Уравнение связывает микропараметры и макропараметры (давление, объем и температуру) идеального газа.

Рассмотрим идеальный газ, который находится в кубическом сосуде. Каждая молекула упруго сталкивается со стенкой сосуда, при этом изменятся ее импульс. Столкновение всех молекул со стенкой на макроуровне ощущается как давление газа на сосуд. В формулах будут присутствовать средние значения, потому что какая-то молекула движется быстрее, какая-то помедленнее, для того, чтобы оценить примерную скорость, будем брать средние значения.

Основное уравнение мкт имеет вид

Средний квадрат скорости молекул

Средняя квадратичная скорость v кв молекул это квадратный корень из среднего квадрата скорости

Средняя кинетическая энергия молекул

Можно вывести формулы

Температура

Это макропараметр, который характеризует способность тел к теплопередаче. Если два тела разной температуры контактируют, то произойдет переход энергии или передача теплоты от более горячего к холодному. Установится тепловое равновесие , все части будут одинаковой температуры.

Средняя квадратичная скорость молекул - среднее квадратическое значение модулей скоростей всех молекул рассматриваемого количества газа

Таблица значений средней квадратичной скорости молекул некоторых газов

Для того чтоб понять, откуда же у нас получается эта формула, мы выведем среднюю квадратичную скорость молекул. Вывод формулы начинается с основного уравнения молекулярно кинетический теории (МКТ):

Где у нас количество вещества, для более легкого доказательства, возьмем на рассмотрение 1 моль вещества, тогда у нас получается:

Если посмотреть, то PV это две третьих средней кинетической энергии всех молекул (а у нас взят 1 моль молекул):

Тогда, если приравнять правые части, у нас получается, что для 1 моля газа средняя кинетическая энергия будет равняться:

Но средняя кинетическая энергия, так же находится, как:

А вот теперь, если мы приравняем правые части и выразим из них скорость и возьмем квадрат,Число Авогадро на массу молекулы, получается Молярная масса то у нас и получится формула для средней квадратичной скорости молекулы газа:

А если расписать универсальную газовую постоянную, как , и за одно молярную массу , то у нас получится?

В Формуле мы использовали:

Средняя квадратичная скорость молекул

Постоянная Больцмана

=

где = 0,001кг/моль – молярная масса водорода. Поэтому

=

2.4.2. Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы воздуха при нормальных условиях. Концентрация молекул при нормальных условиях n 0 = 2,7*10 25 м -3

Анализ и решение. Из основного уравнения молекулярно – кинетической теории газов

Дж

2.4.3. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350К, а так же кинетическую энергию вращательного движения всех молекул, содержащихся в m = 4г кислорода.

Анализ и решение.

Известно, что на каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия, выражаемая формулой

=

где к – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура газа.

Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода - двухатомная) приписываются две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода выразится формулой

=

Учитывая, что к = 1,38*10 -23 Дж/К и Т = 350К, получим

=1,38*10 -23 * 350 Дж = 4,83*10 -21 Дж.

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа определяется равенством

w = N (1)

Число всех молекул газа можно вычислить по формуле

N = N A  (2)

где N A – число Авогадро,  - число киломолей газа.

Если учесть, что число киломолей

где m – масса газа, - масса одного киломоля газа, то формула (2) примет вид N = N A

Подставив это выражение для N в формулу (1) получим

w = N A (3)

Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ, и подставим в формулу (3):

2.4.4. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме С V и при постоянном давлении неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Анализ и решение.

Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами:

С V = (1)

С р =
(2)

где і – число степеней свободы молекулы газа, - молярная масса.

Для неона (одноатомный газ) і = 3 и = 20*10 -3 кг/моль.

Вычисляя по формулам (1) и (2), получим: С V =
Дж/кг*к

С р =
Дж/кг*к

Для водорода (двухатомный газ) і = 3 и = 2*10 -3 кг/моль. Вычисляя по тем же формулам, получим:

С V =
Дж/кг*к

С р =
Дж/кг*к

2.4.5. Найти среднюю квадратичную скорость, среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднюю полную кинетическую энергию молекул гелия и азота при температуре t = 27 0 С. Определить полную энергию всех молекул 100 г каждого из газов.

Анализ и решение.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы любого газа однозначно определяется его термодинамической температурой:

= (1)

где к = 1,38*10 -23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Однако средняя квадратичная скорость молекул газа зависит от массы его молекул:

(2)

где m 0 – масса одной молекулы.

Средняя полная энергия молекулы зависит не только от температуры, но и от структуры молекул – от числа i степеней свободы: = ikT/2

Полная кинетическая энергия всех молекул, равная для идеального газа его внутренней энергии, может быть найдена, как произведение на число всех молекул:

Очевидно, N = N А m/ (5)

где m – масса всего газа, отношении m/ определяет число молей, а N А – постоянная Авогадро. Выражение (4) с учетом уравнения Клапейрона – Менделеева позволит рассчитать полную энергию всех молекул газа.

Согласно равенству (1) < W о п > = 6,2*10 -21 Дж, причем средняя энергия поступательного движения одной молекулы и гелия и азота одинаковы.

Среднюю квадратичную скорость находим по формуле

, где R = 8,31Дж/к моль

Для гелия V кв = 13,7*10 2 м/с

Для азота V кв = 5,17*10 2 м/с

Гелий одноатомный газ, следовательно, i = 3, тогда < W о п > = W о = 6,2*10 -21 Дж.

Азот – двухатомный газ, следовательно, i = 5 и < W о п > = 5/2 кТ = 10,4*10 -21 Дж.

Полная энергия всех молекул после подстановки выражений (3) и (5) в (4) имеет вид

W = кТ
=

Для гелия W = 93,5 кДж, для азота W = 22,3 кДж.